Suite

[georgess]

Bonsoir , j'ai l'exercice suivant :

Pour tout x appartient à ]-1, +1[ et n appartient à N , on pose f(x) = 1+x+x²...+x^n .

Pour tout entier n > 0 on pose Sn = Somme k/2^k . Pour quelle valeur de x a t'on Sn = x * f'(x) ?

Alors ma réponse :

Sn = x*f'(x) = x(1+2+...+n)

Si x = 0 ça ne marche pas car on aurait Sn = 0 et la somme des termes k/2^k ne vaudrait pas 0 .

et avec 1/2 ça marche pas non , plus , vous voyez une possibilité ?

merci

[fatal_error]

Bonjour,

en fait f(x) est l'expression d'une série geometrique de raison x
Comme ya convergence uniforme, tu peux dire que la limite de la dérivée de la série est la limite de chaque terme dérivée, avec un terme type nx^(n-1)

Ensuite, tu peux rentrer le x dedans (on avait xf'(x))
Enfin, il te reste a resoudre l'égalité entre les deux séries.

[georgess]

ça je sais mais regarde , si je prends Sn , ça me fait :

1/2 + 2/4 + 3/8 + 1/16...

aucune valeur de x ne correspond à ça , si je prends x = 1/2 ça me fait :

1/2 ( 0 + 1 + 2 + 3...)

je vois pas quelle égalité résoudre moi...

[Joker62]

f'(x) = 1 + 2x + 3x² + ... + nx^(n-1) + ...

et non f'(x) = 1 + 2 + 3 + ...

[georgess]

oh la la oui exact je suis très maladroit sur ce coup , désolé .

Donner une formule explicite pour f(x) , en déduire une formule explicite pour f'(x) puis pour la somme Sn à l'aide de la question précédente .

Pour f(x) je donnerai ceci :

f(x) = S (n x=0) x^n . Ici S est la lettre grecque somme et n est en haut et x=0 en bas)

pour f'(x) je donnerai ça :

f'(x) = S(n x=0) nx^(n-1)

qu'en pensez vous ?

merci

[Joker62]

Pourquoi tu veux nous mettre un x=0 sous le signe somme ???
le x il varie dans ]-1;1[ non ?

[georgess]

oui c'est vrai , mais je peux pas mettre un intervalle sous le signe somme ça se fait pas je crois...

[Joker62]

Bé la somme démarre de n=0 jusque n = +oo, enfin c'est ce que j'vois dans la définition de la fonction f

C'est quel niveau ?

[georgess]

c'est niveau bac+1 , mais ici je dois donner une formule , je sais que n va de 0 à + infini , mais le x il va de -1 à 1 non inclus , donc comment tu le marques ça dans la formule ? ;)

[Joker62]

bé on a f(x) = somme(n=0 -> +oo) x^n

le x on le sait déjà qu'il varie dans ]-1;1[, c'est le domain de définition de f...

[georgess]

ok , mais le n qui tend vers +infini je crois pas qu'il faut le mettre dans la formule , on met juste n = 0 et ensuite on sait qu'il s'incrémente .

donc ma formule f'(x) est bonne aussi avec ta petite correction , et je dois donner une formule pour Sn , ben c'est tout bete , :

Sn = S(n=0) (nx^(n-1))/2

t'es d'accord ?

[Joker62]

ça c'est S_n que l'on peut calculer très facilement en se rappelant que pour tout x dans ]-1;1[

[georgess]

ok , et la suite n'est pas convergente car on a un intervalle ouvert qui contient L ( limite de la suite ) et tous les termes de la suite , aucun ne se situe à l'extérieur de l'intervalle , donc elle converge pas cette suite t'es d'accord ?

[Joker62]

J'ai pas compris ton argument, et je commence à plus comprendre à quelle question t'essaie de répondre...

[georgess]

en fait j'ai bien répondu à toutes les questions avec ton aide , mais là il m'en reste une derniere : la suite Sn est elle convergente ?

moi je réponds non en me référant à la définition d'une propriété des suites convergentes : Tout intervalle ouvert contenant ;) contient tous les termes de la suite sauf pour un nombre fini d’indices.

c'est pas vérifié ici .

[fatal_error]

PS : si
alors (on enleve le premier terme)

Bon pour la convergence,
on a
Or
et
A l'erreur de calcul pres ~~
On évalue f'(1/2) apres, on fait tendre n vers l'infini, et on trouve une limite a Sn.