Suite Un

[qaterio]

Bonjour, c'est un exercice non guidé, qui demande de prouver que la suite suivante, Un+1 converge vers sqrt(2).
U(0)=2 et U(n+1)=U(n)/2+1/U(n). J'ai donc fais ma petite conjecture, elle est strictement décroissante et minorée par sqrt(2). Évidemment, je fais une récurrence, mais je tombe sur U(n+1)>U(n+2)-1/U(n+1)+1/U(n), or, par supposition 1/Un+1>1/Un, et zut ! Cela n'exclut pas pour autant que U(n+1) puisse être supérieur à U(n+2), quelqu'un pourrait-t-il m'expliquer comment faire SVP, ça fait 1 heure 30 que je réfléchi et comme j'ai d'autres cours à réviser, je ne peux pas m'attarder plus longtemps là-dessus, mais je désirerai tout de même savoir quel était le "truc".
Merci d'avance.

[pascal16]

U(0)=2 et U(n+1)=U(n)/2+1/U(n).

⎷2≤ Un ≤ 2
⎷2/2≤ U(n)/2≤ 1 et 1/2≤ 1/U(n)≤ 1/⎷2 (attention à l’inversion avec le 1/x)
⎷2/2+ 1/2 ≤ U(n)/2+1/U(n)≤ 1+ 1/⎷2
⎷2≤ ⎷2/2+ 1/2 ≤ U(n)/2+1/U(n)≤ 1+ 1/⎷2 ≤ 2 [edit] <- pas bon, il faut passer par l'étude de fonction
⎷2≤ U(n)/2+1/U(n) ≤ 2

[edit] en gros on arrive à 1 ≤ U(n)/2+1/U(n) ≤ 2


U(n+1)-U(n) est du même signe que 2-Un², donc négatif <- donc pas prouvé

[Ben314]

Salut,
En fait tu as affaire à une suite du style où, ici, .
Si tu veut montrer par récurrence que pour tout , ce qu'il faut que tu montre (dans l'hérédité), c'est que : "Si , alors ".
Et évidement, pour montrer qu'une telle implication est vrai, il suffit de montrer que le résultat (plus général) suivant : "Si , alors " est lui même vrai. Et pour démontrer ce résultat, c'est simple vu qu'il suffit de tracer le tableau de variation de la fonction pour savoir de quoi il retourne.

Idem concernant la monotonie : si on ne voit pas d'astuce, une méthode pas con, c'est de chercher le signe de la fonction (par exemple en dressant son tableau de variation) de façon à en déduire le signe de .

[qaterio]

Pascal, ce que tu dis est juste, mais ce n'est pas parce qu'une suite est bornée qu'elle admet une limite, la suite U(n)=cos(n) est bornée entre -1 et 1 mais ne converge pas...

Ben314, je n'avais pas pensé à cette astuce, en effet, c'est maintenant très simple de montrer le résultat, si elle est croissante alors on peut composer notre supposition par f et obtenir le résultat ! Je vais retenir cette méthode pour toutes les fonctions de la forme U(n+1)= f(Un). Je te remercie, ça m'a beaucoup aidé.

[Ben314]

⎷2≤ ⎷2/2+ 1/2

Hummm...
J'ai de gros doutes concernant cette inégalité.

Et ça m'étonnerais plus que fort qu'on arrive au résultat en "ajoutant des encadrement" vu que :
1) La limite de la suite étant racine(2), le minorant racine(2) est le meilleur possible (i.e. y'a zéro "rab" dans les minorations)
2) Le minimum de Un/2 est atteint pour Un le plus petit possible alors que le minimum pour 1/Un est atteint pour Un le plus grand possible. Donc quand on ajoute ces deux minimum, on obtient clairement une valeur bien plus petite que le minimum effectif de la fonction x/2+1/x (i.e c'est une minoration correcte, mais "avec du rab")

@qaterio : Effectivement, j'avais pas pensé à l'autre méthode "classique", à savoir d'utiliser la monotonie de f pour "enquiller" les inégalités du style (si est décroissante)

[fastandmaths]

Bonjour,
peut être,Une idée

J' ai remarqué un truc :"Tous les termes sont strictement positifs" . Je me suis dit qu'on pouvait contourner le problème pour fabriquer la minoration par . Au niveau du raisonnement, je fais certainement des erreurs au niveau de la logique.







pour tout; ,




donc

pour tout, mais aussi ,
on a;




la suite est minorée par et en plus elle est décroissante , on peut alors affirmer qu'elle est convergente . Pour déterminer la limite on pose et on tombe sur

[fastandmaths]

Bonjour,

j'étais loin de la vérité?

[Ben314]

Non, non : ça marche aussi parfaitement bien comme ça.
C'est même plutôt plus court qu'une étude de fonction, mais ça demande évidement un peu plus d'astuce dans la façon de mener les calculs.