Suite

[ArtyB]

Bonjour,

Soit la suite (Un) définie par:
, et pour tout n de N* .

Comment exprimer Un en fonction de n ?

Quelle est la méthode à appliquer pour cela ? A part calculer quelques termes et "remarquer"

Par avance je vous remercie tous pour vos réponses !

[L.A.]

Bonjour,

commence par résoudre l'équation caractéristique associée . Dans le cas où tu as deux racines distinctes et , réelles ou complexes, ta suite peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des deux suites géométriques de raison et :

.

Il ne te reste plus qu'à utiliser les conditions initiales pour déterminer .

[ArtyB]

Bonjour,
Génial ça merci beaucoup !
Donc ici je trouve deux racines complexes:

et

J'ai donc
La valeur de la suite pour n=0 implique que a=-b
Et pour n=4, on élève à la puissance 4 les racines complexes et on résout le système donc ?

[mathelot]

a pour solution et tandis que

a pour solution et
ce n'est pas vraiment les mêmes formules ?

[L.A.]

@ArtyB : Tout à fait (sachant que ton résultat doit être une suite totalement réelle, les parties imaginaires devraient se simplifier à la fin... à moins que je dise une grosse bêtise mais non : si est solution alors est aussi solution et comme la solution est unique on a )

[L.A.]

@mathelot : il y a un cousinage, ce qui compte c'est que l'opérateur qu'on regarde "fasse sortir" une racine de l'équation caractéristique (en termes plus savants, on recherche une base de vecteurs propres, d'ailleurs le nom "équation caractéristique" renvoie au polynôme caractéristique)

Pour la dérivée D(y) = y', les vecteurs propres de D pour la valeur propre r sont les y(x) = ke^{rx},

Pour la translation T(u_n) = u_{n+1}, c'est u_n = kr^n

[ArtyB]

En effet ça a marché, merci beaucoup !