Suite

[Harmonie]

Bonsoir,


La question 3 de cet exercice m'embête.

Je ne suis pas sûre de la démarche à suivre.
J'ai étudié et représenté graphiquement la fonction, j'ai trouvé un point fixe ¤=2
Pour montrer que un appartient à [0,2], il faut que je trouve son expression un=... , que je l'étudie, que je prouve que ses limites sont 0 et ¤ mais ce n'est qu'à la question suivante que l'on me demande de l'étudier..

Ma question est alors, comment montrer qu'une suite appartient à un intervalle sans l'étudier ?

[BiancoAngelo]

Bonsoir,


La question 3 de cet exercice m'embête.

Je ne suis pas sûre de la démarche à suivre.
J'ai étudié et représenté graphiquement la fonction, j'ai trouvé un point fixe ¤=2
Pour montrer que un appartient à [0,2], il faut que je trouve son expression un=... , que je l'étudie, que je prouve que ses limites sont 0 et ¤ mais ce n'est qu'à la question suivante que l'on me demande de l'étudier..

Ma question est alors, comment montrer qu'une suite appartient à un intervalle sans l'étudier ?

C'est plutôt simple quand on sait ce qu'il faut faire :lol3:
En effet, si tu as étudié la fonction, qui est croissante... Que vaut cette fonction en 0 ? Que vaut-elle en 2 ?
Du coup, si je prends x entre 0 et 2, est-ce que f(x) est entre 0 et 2 ?
Du coup, le raisonnement par récurrence, ça te parle ?
u(n+1) et u(n), quel lien ont-ils avec f ?

:zen:

[Harmonie]

Coucou !

Alors f(0)=Racine(2)
f(2)=2

Donc pour x compris dans [0,2], son image f(x) est aussi comprise dans[0,2]
Comme un est définie par récurrence tel que U(n+1)=f(U(n)), Si Un est compris dans [0,2], alors U(n+1) l'est aussi..?

Mais on me demande ça pour tout n, donc il faut que je fasse une preuve par récurrence sur Un :

Intialisation : U(0)=0, 0 apprtient à [0,2], la propriété est vraie pour n=0
Hérédité : supposons la propriété vrai au rang n, montrons qu'elle l'est au rang n+1
Pour n=1 u(1)=1, c'est encore vrai.
Mais après... [FONT=Franklin Gothic Medium]SUPERMASSIVEBLACKHOLE[/FONT]
Conclusion : Pour tout n appartenant à N, Un appartient à [0,2]

Chose que je trouve un peu bizarre parce que j'ai une limite pour f(x) à +inf, mais si f est croissante, ça veut dire que Un est monotone U(0)<U(1) donc elle est croissante. Le fait que la suite soit exclusivement comprise entre [0,2] est encore plus bizarre...
Mais si je prouve qu'elle est majorée, vu qu'elle est croissante quand x tend vers l'infini, la suite convergera vers sa borne supérieur 2 sans jamais l'atteindre c'est ça ?

[BiancoAngelo]

Coucou !

Alors f(0)=Racine(2)
f(2)=2

Donc pour x compris dans [0,2], son image f(x) est aussi comprise dans[0,2]
Comme un est définie par récurrence tel que U(n+1)=f(U(n)), Si Un est compris dans [0,2], alors U(n+1) l'est aussi..?

Mais on me demande ça pour tout n, donc il faut que je fasse une preuve par récurrence sur Un :

Intialisation : U(0)=0, 0 apprtient à [0,2], la propriété est vraie pour n=0
Hérédité : supposons la propriété vrai au rang n, montrons qu'elle l'est au rang n+1
Pour n=1 u(1)=1, c'est encore vrai.
Mais après... [FONT=Franklin Gothic Medium]SUPERMASSIVEBLACKHOLE[/FONT]
Conclusion : Pour tout n appartenant à N, Un appartient à [0,2]

Chose que je trouve un peu bizarre parce que j'ai une limite pour f(x) à +inf, mais si f est croissante, ça veut dire que Un est monotone U(0)<U(1) donc elle est croissante. Le fait que la suite soit exclusivement comprise entre [0,2] est encore plus bizarre...
Mais si je prouve qu'elle est majorée, vu qu'elle est croissante quand x tend vers l'infini, la suite convergera vers sa borne supérieur 2 sans jamais l'atteindre c'est ça ?

Bah alors ? Tu n'es pas loin du résultat, il te reste à bien faire l'hérédité !

Tu as dit qu'on suppose qu'elle est vraie au rang n. Donc que u(n) appartient à [0;2].
Or u_(n+1) = f(u(n)) qui appartient à [0;2] d'après ce que tu viens d'écrire juste avant.

Donc l'hérédité est valable.

Conclusion, tous les u_n sont dans [0;2]...

En montrant qu'elle est croissante, et vu qu'elle est majorée, alors oui, elle convergera.
Sa limite est entre 0 et 2, mais oublie cette histoire de converger vers la borne supérieure. C'est pas ça qu'il faut dire.

C'est plutôt que si elle converge, alors sa limite vérifie l = f(l), autrement dit, elle converge vers le point fixe... :lol3:

[Harmonie]

OK super, merci beaucoup de ton aide ! Voilà un exo de plus que je saurais faire demain matin !
Bonne fin de soirée :)

[chan79]

Intialisation : U(0)=0, 0 apprtient à [0,2], la propriété est vraie pour n=0
Hérédité : supposons la propriété vrai au rang n, montrons qu'elle l'est au rang n+1

salut
juste une petite correction U(0)=1 (qui appartient bien à [0;2])

[zygomatique]

salut

sans même introduire explicitement f (comme au collège)

1/ une racine carrée est positive donc f(x) > 0

2/ x < 2 => x + 2 < 4 => R(x + 2) < R(4) = 2 (car la fonction racine est croissante) donc x < 2 ==> f(x) < 2

.... :lol3: