Suite

[PassP]

Bonjour,

j'ai un petit problème concernant mon exercice:

on me demande: déterminer la suite (un) n dans N vérifiant:
-u0=-2 et pour tout n dans N, un+1=2un-2n+7.

D'habitude il est facile de résoudre ce type de suite récurrente car aucun termes en n n'intervienne, il suffit de poser f(x)=... , d'étudier les positions relative, la stabilité, les limites ... mais la je suis bloqué dès le début car je n'arrive pas à l'exprimer sous la forme f(x) =...

Ps: cette question se trouve à l'intérieur dans exercice sur les espaces vectoriels en dimension finie.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonne journée à tous et à toutes.

[ev85]

Bonjour,

j'ai un petit problème concernant mon exercice:

on me demande: déterminer la suite (un) n dans N vérifiant:
-u0=-2 et pour tout n dans N, un+1=2un-2n+7.

D'habitude il est facile de résoudre ce type de suite récurrente car aucun termes en n n'intervienne, il suffit de poser f(x)=... , d'étudier les positions relative, la stabilité, les limites ... mais la je suis bloqué dès le début car je n'arrive pas à l'exprimer sous la forme f(x) =...

Ps: cette question se trouve à l'intérieur dans exercice sur les espaces vectoriels en dimension finie.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonne journée à tous et à toutes.

Bonjour.

Ton problème est similaire à un problème d'équation différentielle. Donc la première chose à faire est de résoudre l'équation sans second membre, c'est-à-dire

amicalement,

e.v.

[PassP]

résoudre d'abord un+1=2un cela revient à résoudre un EDL1 je suppose de la forme y'-2y=0?

Dans ce cas l'ensemble solution sera : lambda*e^(2t) / tel que lambda soit dans R.

mais je ne vois pas où cela peut me mener car que faire du reste de la suite? et en quoicela me donne peu à peu un?

Merci pour cette réponse mais je crois que tu vois d'avantage que moi où ton idée peut nous mener :we:

Bonne journée.

[ev85]

résoudre d'abord un+1=2un cela revient à résoudre un EDL1 je suppose de la forme y'-2y=0?

Dans ce cas l'ensemble solution sera : lambda*e^(2t) / tel que lambda soit dans R.

mais je ne vois pas où cela peut me mener car que faire du reste de la suite? et en quoicela me donne peu à peu un?

Merci pour cette réponse mais je crois que tu vois d'avantage que moi où ton idée peut nous mener :we:

Bonne journée.

Pour l'équation tu vas trouver des suites géométriques.
Que se passe-t-il lorsque tu résous ? Tu prends, par exemple, une nouvelle fonction inconnue. . Ici tu vas faire la même chose. Tu prends une nouvelle suite inconnue . Tu vas voir les analogies.

e.v.

[chan79]

pour te mettre sur une piste
[img][IMG]http://img263.imageshack.us/img263/9052/suitey.png[/img][/IMG]
colonne A n
colonne B u(n)
colonne C v(n)=u(n+1)-u(n)
colonne D w(n)=v(n+1)-v(n)

[chan79]

Pour l'équation tu vas trouver des suites géométriques.
Que se passe-t-il lorsque tu résous ? Tu prends, par exemple, une nouvelle fonction inconnue. . Ici tu vas faire la même chose. Tu prends une nouvelle suite inconnue . Tu vas voir les analogies.

e.v.

salut
pour te donner une idée:
[img][IMG]http://img4.imageshack.us/img4/4094/suitec.png[/img][/IMG]
tu devrais arriver à: u(n)=3*(2^n) + 2n - 5

[PassP]

salut
pour te donner une idée:
[img][IMG]http://img4.imageshack.us/img4/4094/suitec.png[/img][/IMG]
tu devrais arriver à: u(n)=3*(2^n) + 2n - 5

merci pour vos réponses je n'ai pas encore tout saisis mais je vais encore m'y pencher pour comprendre votre raisonnement.

Bonne fin de soirée et merci encore pour votre aide :we:

[PassP]

La suite u(n) trouvée finalement tu l'as trouvée en conjecturant par rapport au données de ton tableau ou en résolvant une équation comme on me la suggéré avec u(n+1)=2u(n) ?

[chan79]

La suite u(n) trouvée finalement tu l'as trouvée en conjecturant par rapport au données de ton tableau ou en résolvant une équation comme on me la suggéré avec u(n+1)=2u(n) ?

conjecture d'après les calculs du tableur puis vérification
Pour la colonne de droite, si tu divises par 3, tu as les puissances de 2
La méthode d'ev85 est peut-être mieux. Je ne l'ai pas essayée. Pourquoi ne pas essayer des deux façons ?

[PassP]

conjecture d'après les calculs du tableur puis vérification
Pour la colonne de droite, si tu divises par 3, tu as les puissances de 2
La méthode d'ev85 est peut-être mieux. Je ne l'ai pas essayée. Pourquoi ne pas essayer des deux façons ?

En essayant avec la méthode d'ev85:

soit v(n)=2^(-n)*u(n)

donc u(n)= 2^(n)*v(n)
et u(n+1)=2^(n+1)*v(n+1)

si on prends u(n+1)=2u(n), on se retrouve avec v(n+1)=v(n)...
d'où si on prends u(n+1)=2u(n)-2n+7 on a la même chose avec des v(n).

Je n'arrive pas à voir où il faut résoudre quelque chose pour ne pas tourner en rond comme je le fais si bien jusqu'à présent ...

Quand à ta méthode chan79 je ne vois toujours pas ce qui ta poussée à faire ces changements (pour v(n) je peux comprendre pour w(n), je comprends moins )

Bonne journée et merci encore pour vos réponses.

[ev85]

En essayant avec la méthode d'ev85:

soit v(n)=2^(-n)*u(n)

donc u(n)= 2^(n)*v(n)
et u(n+1)=2^(n+1)*v(n+1)

si on prends u(n+1)=2u(n), on se retrouve avec v(n+1)=v(n)...
d'où si on prend u(n+1)=2u(n)-2n+7 on a la même chose avec des v(n).

Bonjour à tous.

Je vais essayer d'expliquer mon point de vue.

Lorsque je résous l'équation différentielle je commence par résoudre l'équation homogène . Je trouve un ensemble de solutions qui est un espace vectoriel de dimension 1, une droite autrement dit. Ce sont les .
Ensuite pour avoir les solutions de l'équation de départ, je cherche une solution particulière et mon ensemble de solutions sera la droite affine passant par cette solution et de direction la droite vectorielle plus haut. Je trouve la solution particulière comme primitive d'une certaine fonction. La constante d'intégration pouvant être vue comme la constante déjà rencontrée plus haut.

Tout ça est connu j'espère.

Je reviens à ma suite. Par analogie je pose et je remplace :
et en divisant par j'ai .

Je m'arrête un instant pour contempler mon travail. La différence finie est le pendant pour les suites de la dérivée pour les fonctions. Il faut donc que j'"intègre" pour obtenir . Cela se fait en télescopant la suite :
. Là il va falloir faire travailler un peu les suites géométriques.

e.v.

[chan79]

En essayant avec la méthode d'ev85:

soit v(n)=2^(-n)*u(n)

donc u(n)= 2^(n)*v(n)
et u(n+1)=2^(n+1)*v(n+1)

si on prends u(n+1)=2u(n), on se retrouve avec v(n+1)=v(n)...
d'où si on prends u(n+1)=2u(n)-2n+7 on a la même chose avec des v(n).

Je n'arrive pas à voir où il faut résoudre quelque chose pour ne pas tourner en rond comme je le fais si bien jusqu'à présent ...

Quand à ta méthode chan79 je ne vois toujours pas ce qui ta poussée à faire ces changements (pour v(n) je peux comprendre pour w(n), je comprends moins )

Bonne journée et merci encore pour vos réponses.

Je vais essayer d'expliquer ce que j'ai fait, tout en précisant que ce n'est pas une méthode qui peut se généraliser mais des manipulations avec le tableur qui conduisent à émettre une conjecture qu'il n'y a plus qu'à vérifier ensuite.
donc j'ai posé
v(1)=u(1)-u(0)=5
v(2)=u(2)-u(1)=8
...
v(n)=u(n)-u(n-1)
puis
w(2)=v(2)-v(1)=3
w(3)=v(3)-v(2)=6
...
w(n)=v(n)-v(n-1)
en divisant les v(n) par 3, on voit qu'on obtient les puissances de 2
donc on conjecture: w(n)=3*2^(n-2)
****************
on détermine ensuite v(n)
v(2)-v(1)=3*2^0
v(3)-v(2)=3*2^1
...
...
v(n)-v(n-1)=3*2^(n-2)
en ajoutant membre à membre
v(n)-v(1)=3(1+2+2^2+2^3+ ... +2^(n-2)
v(n)-5=3*(2^(n-1)-1)
v(n)=3*2^(n-1)+2
*********************
enfin on cherche u(n)
u(1)-u(0)=3*2^0+2
u(2)-u(1)=3*2^1+2
...
...
u(n)-n(n-1)=3*2^(n-1)+2
on ajoute membre à membre
u(n)-u(0)=3(2^n-1)+2*n
u(n)=3*2^n+2n-5
Pour vérifier que la conjecture est bonne, il faut vérifier que cette suite est bien celle définie par l'énoncé
on vérifie que u(0)=-2
et que la relation de récurrence est vérifiée

[chan79]

on pourrait peut-être simplement conjecturer que u(n) est de la forme u(n)=a*2^n+b*n +c
et déterminer a, b et c

[Sa Majesté]

Sinon tu définis et tu trouves et tels que.

Ensuite tu trouves en fonction de n puis en fonction de n.

[PassP]

Je vous remercie pour vos 3 propositions:

J'ai dans l'ensemble compris votre démarche mais subsistent encore quelques problème quand à la résolution...

Tout d'abord la méthode de chan79 : Je vois que c'est très efficace à condition d'avoir la chance de repérer le 3*2^(n) pour la suite w(n) :) --> merci encore pour ta méthode qui de par "l'expérience" (tableur) on peut arrivé à des choses très explicitent et générale : la suite u(n) suivant n.

Ensuite pour la méthode de ev85 : J'avoue m'embrouiller un peu alors que tu n'utilises que des choses simples mais bon l'idée même d'analogie EDL1 et suites me pose quelques soucis :)
Je ne savais pas que l'intégrale de v(n+1)-v(n) nous donnais v(n), en supposant que je connaisse, en suite, tout semble être de mon niveau. Cela étant je me mélange dans toutes ces notations. En développant ta sommes j'en conclus que v(n)-v(0)= (2^(-n)-1)*(7-2n) mais je n'arrive pas à voir ce que je dois faire avec ceci. Si tu peux encore me guider cela m'aiderais fortement.

Pour la méthode proposée par Sa Majesté : Cela semble une méthode assez directe si ce n'est que je suis légèrement bloqué. J'ai résolus le système et j'obtiens dès lors : Alpha= -2 et Béta = 5 mais je n'arrive pas à explicité v(n) à partir de ça sans faire intervenir u(n) dans l'expression ce qui est inutile ... merci pour ta proposition de méthode, c'est maintenant un problème de technique que j'ai à présent pour avoir v(n) en fonction de n.

Bonne journée à tous.

[Sa Majesté]

Pour la méthode proposée par Sa Majesté : Cela semble une méthode assez directe si ce n'est que je suis légèrement bloqué. J'ai résolus le système et j'obtiens dès lors : Alpha= -2 et Béta = 5 mais je n'arrive pas à explicité v(n) à partir de ça sans faire intervenir u(n) dans l'expression ce qui est inutile ... merci pour ta proposition de méthode, c'est maintenant un problème de technique que j'ai à présent pour avoir v(n) en fonction de n.

donc est une suite géométrique.
Tu peux donc expliciter en fonction de n et de qu'il suffit de calculer.

[PassP]

donc est une suite géométrique.
Tu peux donc expliciter en fonction de n et de qu'il suffit de calculer.

En effet l’ennuie est que je trouve:
v(n)=v(o)*2^(n)

donc v(n)=(3-2n)*2^(n)

ainsi, u(n)= 3*2^(n)*n2^(n+1)+2n-5

j'ai le terme en n2^(n+1) en trop d'après la conjecture de chan79 ... je ne vois pas mon erreur pourtant même si ma suite u(n) est complètement fausse ...

Pour la méthode de ev85 je suis toujours au même point.

[PassP]

J'obtiens toujours v(o) = 3-2n, ce qui me donne u(n) = 3*2^(n)-n2^(n+1)+2n-5

Je ne vois pas ce que le terme en -n2^(n+1) viens faire la....

Merci pour votre aide.

Bonne journée.

[chan79]

J'obtiens toujours v(o) = 3-2n, ce qui me donne u(n) = 3*2^(n)-n2^(n+1)+2n-5

Je ne vois pas ce que le terme en -n2^(n+1) viens faire la....

Merci pour votre aide.

Bonne journée.

donc, on pose v(n)=u(n)+a*n+b
essayons de déterminer a et b pour que v(n+1)/v(n)=2 pour tout n
v(n+1)=u(n+1)+a(n+1)+b=2*u(n)-2n+7+an+a+b =2(u(n)-n+7/2+an/2+a/2+b/2)
il faudrait donc que pour tout n:
v(n)=u(n)-n+7/2+an/2+a/2+b/2
soit
an+b=n(a/2-1)+a/2+b/2+7/2
a=a/2-1 donne a=-2
b=a/2+b/2+7/2 donne b=5
donc v(n)=u(n)-2n+5 vérifie v(n+1)=2*v(n)
v(0)=u(0)+0+b=-2+5=3
donc
v(1)=3*2
v(2)=3*2²
v(n)=3*2^n
et donc u(n)=3*2^n+2n-5
je pense que c'est la méthode de Sa Majesté
Comme je l'ai dit plus haut, tu pourrais aussi conjecturer que u(n)=a*2^n+bn+c
et chercher a, b et c
en effet la définition de u(n) par récurrence montre qu'on conserve toujours une expression de cette forme

[PassP]

donc, on pose v(n)=u(n)+a*n+b
essayons de déterminer a et b pour que v(n+1)/v(n)=2 pour tout n
v(n+1)=u(n+1)+a(n+1)+b=2*u(n)-2n+7+an+a+b =2(u(n)-n+7/2+an/2+a/2+b/2)
il faudrait donc que pour tout n:
v(n)=u(n)-n+7/2+an/2+a/2+b/2
soit
an+b=n(a/2-1)+a/2+b/2+7/2
a=a/2-1 donne a=-2
b=a/2+b/2+7/2 donne b=5
donc v(n)=u(n)-2n+5 vérifie v(n+1)=2*v(n)
v(0)=u(0)+0+b=-2+5=3
donc
v(1)=3*2
v(2)=3*2²
v(n)=3*2^n
et donc u(n)=3*2^n+2n-5
je pense que c'est la méthode de Sa Majesté
Comme je l'ai dit plus haut, tu pourrais aussi conjecturer que u(n)=a*2^n+bn+c
et chercher a, b et c
en effet la définition de u(n) par récurrence montre qu'on conserve toujours une expression de cette forme

Merci beaucoup chan79 c'est en effet exactement la technique de Sa Majesté, mon problème était que mon terme avec mon -n2(n-1) devais s'annuler pour v(0) ce que je n'ai pas fais.

Merci!