psp a écrit:J'allais justement t'en parler, le cas où il y a plusieurs points fixes : plutôt où il y a deux points fixes.
J'affirmais qu'un intervalle [a,b] où a,b sont deux points fixes distincts, est stable par f si f est croissant et continu sur cet intervalle. Je cherchais juste un
qui rentre dans cet intervalle et par conséquent tout les
étaient bornés par [a,b], je n'avais plus qu'à étudier la monotonie de la suite passer à la limite et c'était terminé.
Dans le cas où f n'a qu'un seul point fixe je ferai toujours méthode qu'on a explicité.
Maintenant admettons que f possède deux points fixes mais n'est pas croissante sur l'intervalle encadré par ces derniers, que se passe-t-il ?
En fait, il peut se passer... un peu n'importe quoi...
Déjà, le calcul des point fixes et forcément insufisant dans le cas où l'intervalle où est défini ta fonction est non borné : ta suite U_n peut trés bien tendre vers l'infini (on peut à la limite dire que l'infini est point fixe dans ce cas, mais c'est pas super évident à définir proprement)
Ensuite, il est possible que, bien qu'il y ait un (ou des) point fixes, la suite s'obstinne à ne pas vouloir tendre vers ces point fixes.
C'est (assez clairement) le cas si |f'(L)|>1 (le point fixe est dit "répulsif") : le T.A.F. te dit dans ce cas que, si un des Un était trés proche de L (sans être égal à L), alors les Un suivant séloignerait de L.
Mais ça peut aussi être le cas même si les points fixes sont attractifs. Il peut y avoir en plus des "cycles attractifs", c'est à dire que ta suite va être telle que les U(2n) tendent vers une valeur et les U(2n+1) tendent vers une autre valeur (si tu comprend tout ce que je raconte, ce cas se produit lorsque fof a un point fixe attractif qui ne correspond pas à un point fixe de f)
Enfin, il y a des cas où la suite Un... fait n'importe quoi (aucune régularité...)
Si ça t'amuse, regarde ce que donne la suite
)
avec
et
un réel fixé de
: selon la valeur de r que tu prend, tu as à peu prés tout les cas de figure envisageable sous les yeux.
Pour les petites valeurs de r (jusqu'à r=3), c'est niveau term ou classe prépa de montrer que la suite Un va converger (et de trouver sa limite).
Au delà de 3, ça se complique.... et, le truc marrant, c'est que pour r=4 pile (le max) on sait parfaitement étudier cette suite et montrer... qu'elle n'arrête pas de prendre toutes les valeurs possibles et imaginable entre 0 et 1.
Cherche sur google "Diagramme des bifurcation" si tu veut jeter un coup d'oeil à ce phénomène : tu trouvera des tonnes de site de... tout les niveaux...
) J'ai que 20 ans si j'apprends que ceux qui m'aident ont mon âge voir moins je vais me sentir vraiment con !