Suite de polynômes trigonométriques

[Mysterion]

Salut,

En analyse numérique le théorème de Stone-Weierstrass dit :

"Pour toute fonction F continue - périodique, il existe une suite de polynôme trigonométrique qui converge uniformément vers F"

Dans le cas où la fonction F est définie ainsi : F(t) = f(cos(t)) avec f définie et continue sur [-1,1].

Je ne suis pas sur de comprendre pourquoi il est "toujours possible" de supposer que est de la forme :

avec les , les coeffs de Fourier complexes.

ça ne devrait pas plutôt s'écrire avec les coefficients réels ? Les ?

[cartesien]

fonction a valeur dans C

[Mysterion]

fonction a valeur dans C

Ok, mais formellement, un polynôme trigonométrique quelconque de degré n c'est .

Comment je justifie la forme que peut preuvent prendre les à partir de la définition de ?

[Le_chat]

C'est parce que F est paire. Les (ck) marqués ici sont bien les (ak) qu'on a l'habitude de voir. Note bien qu'ils sont à priori complexes car je ne crois pas qu'on a supposé F à valeurs réelles.

[Mysterion]

C'est parce que F est paire. Les (ck) marqués ici sont bien les (ak) qu'on a l'habitude de voir. Note bien qu'ils sont à priori complexes car je ne crois pas qu'on a supposé F à valeurs réelles.

Pourtant pour une fonction paire on a (d'après la relation entre les coefficients , et ) .

Alors pourquoi ici on aurait ?

[Le_chat]

Non on a pas (ck)=(ak), c'est juste qu'ils appellent (ck) ce que tu appelles (ak).

[Mysterion]

Non on a pas (ck)=(ak), c'est juste qu'ils appellent (ck) ce que tu appelles (ak).

Ok, donc ici , on est bien d'accord ?

[Le_chat]

Oui, il suffit de le vérifier par le calcul pour s'en convaincre.

[Mysterion]

Oui, il suffit de le vérifier par le calcul pour s'en convaincre.

Ok, c'est plus claire maintenant. Grand merci.