[concours-licence] suite numerique facile

[Anonyme]

Bonjour,
J'ai récemment passé un concours (inspecteur des douanes). D'habitude les
exercices sont vraiment très très simples. N'étant pas en licence de maths,
je pensais maximiser quand même ma note. Toutefois, je me suis planté. Cet
exercice devrait néanmoins vous paraître facile.

An définie sur N
Bn aussi

A0 >0 , b0> 0

1) prouver pour n>=1 :


0An+1 - Bn+1 < (An - Bn)/2


2 ) en déduire que les deux suites sont convergentes et ont une meme limite
notée L(a0,b0)



Je vous remercie d'avance.

[Anonyme]

Pardon j'ai oublié le plus important !


A n+1 = (An+Bn)/2
B n+1 = (An*Bn)^(1/2)
C'est évidemment la racine carrée qui me gêne

[Anonyme]

Dans ces conditions, il est clair que An tend vers 0.

Il est aussi très clair que Bn est bornée.

Donc Bn tend aussi vers 0.

Il doit y avoir un pb dans l'énoncé (An ne dépend pas de Bn).


On Thu, 15 Jan 2004 20:33:27 +0100, "romamana"
wrote:

>Pardon j'ai oublié le plus important !
>
>
>A n = (An)/2
>B n = (An*Bn)^(1/2)
>C'est évidemment la racine carrée qui me gêne
>

Enoncé à revoir : les suites semblent être définies par récurrence, ie
on doit écrire :
An+1=...
Bn+1=...

[Anonyme]

Pour montrer que A_n décroît, il y a différentes manières de faire.

Regarder A_(n+1)-A_n: avec un peu de chance ça se simplifie et on trouve
quelquechose de négatif.
Regarder A_(n+1)/A_n à condition de savoir qu'A_n est >0, et le comparer à
1.
Idem pour B_n.

--
Maxi

[Anonyme]

Après réflexions :

Si on prend les conditions suivantes :

Bn+1=sqrt(An*Bn) (Moyenne géométrique)
An+1=(An+Bn)/2 (Moyenne arithmétique)

Il est clair que Bn+1Bn+1 (même remarque)

Autrement dit Bn est croissante (à partir d'un certain rang) et An est
décroissante.
Donc les deux suites convergent.

Si on note a la limite de An et b celle de Bn, il est claire que
a=(a+b)/2 ie b=a


NB : démonstration de Bn+1
wrote:

>Dans ces conditions, il est clair que An tend vers 0.
>
>Il est aussi très clair que Bn est bornée.
>
>Donc Bn tend aussi vers 0.
>
>Il doit y avoir un pb dans l'énoncé (An ne dépend pas de Bn).
>
>
>On Thu, 15 Jan 2004 20:33:27 +0100, "romamana"
>wrote:
>[color=green]
>>Pardon j'ai oublié le plus important !
>>
>>
>>A n = (An)/2
>>B n = (An*Bn)^(1/2)
>>C'est évidemment la racine carrée qui me gêne
>>
>
>Enoncé à revoir : les suites semblent être définies par récurrence, ie
>on doit écrire :
>An+1=...
>Bn+1=...[/color]

[Anonyme]

Ben t'as pas du bien lire l'énoncé, car il manque l'essentiel : comment
An+1 et Bn+1 se déduisent de An et Bn ? A moins que cette partie ait été
saisie par la douane des frontières toologiques ?
PAUL

romamana a écrit:
> Bonjour,
> J'ai récemment passé un concours (inspecteur des douanes). D'habitude les
> exercices sont vraiment très très simples. N'étant pas en licence de maths,
> je pensais maximiser quand même ma note. Toutefois, je me suis planté. Cet
> exercice devrait néanmoins vous paraître facile.
>
> An définie sur N
> Bn aussi
>
> A0 >0 , b0> 0
>
> 1) prouver pour n>=1 :
>
>
> 0 An+1 - Bn+1
>
> 2 ) en déduire que les deux suites sont convergentes et ont une meme limite
> notée L(a0,b0)
>
>
>
> Je vous remercie d'avance.
>
>

[Anonyme]

Am 15/01/04 20:30, sagte romamana (romamana@wanadoo.fr) :

> Bonjour,
> J'ai récemment passé un concours (inspecteur des douanes). D'habitude les
> exercices sont vraiment très très simples. N'étant pas en licence de maths,
> je pensais maximiser quand même ma note. Toutefois, je me suis planté. Cet
> exercice devrait néanmoins vous paraître facile.
>
> An définie sur N
> Bn aussi
>
> A0 >0 , b0> 0
>
> 1) prouver pour n>=1 :
>
>
> 0 An+1 - Bn+1
>
> 2 ) en déduire que les deux suites sont convergentes et ont une meme limite
> notée L(a0,b0)
>
visiblement cet exercice est un grand classique (2me fois en 3 jours sur ce
ng, très souvent demandé); il n'est effectivement pas très dur (faisable
sans problème en TS) mais semble toujours poser problème

je crois qu'une méthode assez simple est de le montrer par récurrence : pour
n =1, puis supposer que pour un n :
0 < an < bn
et ensuite on peut montrer facilement en utilisant l'inégalité de la moyenne
que 0<Bn<=Bn+1<=An+1<=An


albert

--
Break on through to the other side.

[Anonyme]

> visiblement cet exercice est un grand classique (2me fois en 3 jours sur
ce
> ng, très souvent demandé); il n'est effectivement pas très dur (faisable
> sans problème en TS) mais semble toujours poser problème
>


Je crois surtout que le problème avec les maths est que, sans être un gros
con, on peut errer durant des heures sans voir " le bon chemin", aussi
limpide soit-il. Personnellement, j'ai sérieusement cherché (concours
oblige) en faisant plein d'essais. On en ressort parfois frustré. Dire que
l'épreuve de l'année précédente était vraiment triviale!
Le seul moyen d'avoir une forte productivité est de connaître les problèmes
classiques en mathématiques. Quand j'étais en prepa, il y avait par exemple
"méthodes savoir faire et astuces". Mais ce problème n'y figure pas.

[Anonyme]

Am 16/01/04 18:23, sagte romamana (romamana@wanadoo.fr) :


> Je crois surtout que le problème avec les maths est que, sans être un gros
> con, on peut errer durant des heures sans voir " le bon chemin", aussi
> limpide soit-il. Personnellement, j'ai sérieusement cherché (concours
> oblige) en faisant plein d'essais. On en ressort parfois frustré. Dire que
> l'épreuve de l'année précédente était vraiment triviale!
> Le seul moyen d'avoir une forte productivité est de connaître les problèmes
> classiques en mathématiques. Quand j'étais en prepa, il y avait par exemple
> "méthodes savoir faire et astuces". Mais ce problème n'y figure pas.
>
Je comprends très bien que ca soit frustrant; je suis moi même encore dans
le circuit (en Terminale justement) et ce genre de choses m'arrivaient assez
fréquemment avant, maitenant ca va mieux...
Connaître les exos types est certes utile, mais je pense qu'il est encore
plus important d'arriver à tirer des méthodes de ces exercices, de
comprendre *pourquoi* on fait telle chose et pas une autre, de creuser les
exercices pour voir si ca aurait pu marcher autrement, etc...
en somme, se poser les bonnes questions, et ne pas faire les exos bêtement

bonne continuation


albert

*pas la peien de copier les messages envoyés sur les newsgroups, je copie
ici la réponse que je vous ais faite en privé avant de comprendre que vous
aviez posté ici*

[Anonyme]

Serait-il possible d'avoir l'énoncé exact du problème avecles
relations de récurrences définissant les suites An et Bn ?


On Fri, 16 Jan 2004 18:23:55 +0100, "romamana"
wrote:

>[color=green]
>> visiblement cet exercice est un grand classique (2me fois en 3 jours sur
>ce
>> ng, très souvent demandé); il n'est effectivement pas très dur (faisable
>> sans problème en TS) mais semble toujours poser problème
>>
>
>
>Je crois surtout que le problème avec les maths est que, sans être un gros
>con, on peut errer durant des heures sans voir " le bon chemin", aussi
>limpide soit-il. Personnellement, j'ai sérieusement cherché (concours
>oblige) en faisant plein d'essais. On en ressort parfois frustré. Dire que
>l'épreuve de l'année précédente était vraiment triviale!
>Le seul moyen d'avoir une forte productivité est de connaître les problèmes
>classiques en mathématiques. Quand j'étais en prepa, il y avait par exemple
>"méthodes savoir faire et astuces". Mais ce problème n'y figure pas.
>
>[/color]

[Anonyme]

"Guill" a écrit dans le message de news:
icbg001a80tnldcp2r0p2jq83j0c7nmkes@4ax.com...
Serait-il possible d'avoir l'énoncé exact du problème avec les
relations de récurrences définissant les suites An et Bn ?


Eh bien, je m'étais corrigé deux minutes après avoir envoyé le premier
message, l'énoncé est donc le second message du fil !

[Anonyme]

> Connaître les exos types est certes utile, mais je pense qu'il est encore
> plus important d'arriver à tirer des méthodes de ces exercices, de
> comprendre *pourquoi* on fait telle chose et pas une autre, de creuser les
> exercices pour voir si ca aurait pu marcher autrement, etc...
> en somme, se poser les bonnes questions, et ne pas faire les exos bêtement


Bien sur, il faut apprendre à chercher soi meme. Ne serait ce que parce
qu'on risque de tomber sur un exercice original un jour. Ou alors parce que
parfois la comprehension de l'exercice est presque obligatoire (c'est le cas
dans le domaine des probabilités). Mais hormis dans ce dernier cas, il vaut
mieux mémoriser les grands traits des exercices classiques. Cela prendrait
pas mal de temps de redémontrer le théorème de Césaro par exemple. Or, dans
une optique d'examen ou de concours, la vitesse est primordiale.
Je crois qu'il vaut mieux chercher à comprendre les corrigés et ensuite
faire les exercices plutot que le contraire, et seulement ensuite chercher à
réinventer la roue. Il y a de toute maniere toujours des domaines dans
lesquels on pourra en dehors des maths exercer des facultes de recherche.
Par exemple, la programmation informatique. Même quand on se destine à une
cariere de chercheur, on aura toujours le temps en DEA d'essayer à prouver
quelque chose de novateur. Et quand on est coince dans un concours, n'essaie
t-on pas de toute facon de faire preuve de reflexion ?
Pour ma part, un jour dans un concours j'ai du reinventer la formule de
l'integration par parties que je ne connaissais pas. Mais c'est un
raisonnement limite à trois etapes ! Je trouve que meme cet exercice
demandait plus de recherche ! Mais enfin, peut être que certains ne seront
pas d'accord...........
En tout cas, je reponds plus aux critiques que pourraient formuler les
autres qu'à toi (cad qu'il faut toujours chercher soi meme avant de
consulter des corriges dans un manuel est a mon avis faux. C'est du temps
perdu au niveau prepa / concours administratifs)

[Anonyme]

romamana a écrit:[color=green]
>>visiblement cet exercice est un grand classique (2me fois en 3 jours sur
>
> ce
>
>>ng, très souvent demandé); il n'est effectivement pas très dur (faisable
>>sans problème en TS) mais semble toujours poser problème
>>
>
>
>
> Je crois surtout que le problème avec les maths est que, sans être un gros
> con, on peut errer durant des heures sans voir " le bon chemin", aussi
> limpide soit-il. Personnellement, j'ai sérieusement cherché (concours
> oblige) en faisant plein d'essais. On en ressort parfois frustré. Dire que
> l'épreuve de l'année précédente était vraiment triviale!
> Le seul moyen d'avoir une forte productivité est de connaître les problèmes
> classiques en mathématiques. Quand j'étais en prepa, il y avait parexemple
> "méthodes savoir faire et astuces". Mais ce problème n'y figure pas.
> [/color]
Moi ce que je crois c'est que devant un tel exo il faut 'calculer' les
premiers termes !
et si je mets des '' c'est parce qu'il faut effectivement en trouver des
valeurs correctes mais aussi profiter de ce calcul numérique pour
intuiter la soltion générale... Mais bon, avec les calculettes, on perd
ce 'contact avec la réalité des nombres'...
PAUL

[Anonyme]

A n = (An)/2
B n = (An*Bn)^(1/2)
C'est évidemment la racine carrée qui me gêne


Ce ne sont pas des relations de récurrence, il faut du An+1 et du Bn+1


On Fri, 16 Jan 2004 19:47:03 +0100, "romamana"
wrote:

>
>
>"Guill" a écrit dans le message de news:
>icbg001a80tnldcp2r0p2jq83j0c7nmkes@4ax.com...
>Serait-il possible d'avoir l'énoncé exact du problème avec les
>relations de récurrences définissant les suites An et Bn ?
>
>
>Eh bien, je m'étais corrigé deux minutes après avoir envoyé le premier
>message, l'énoncé est donc le second message du fil !
>
>

[Anonyme]

"A n = (An)/2
B n = (An*Bn)^(1/2)
C'est évidemment la racine carrée qui me gêne


Ce ne sont pas des relations de récurrence, il faut du An+1 et du Bn+1


C'est ton énoncé qui est étrange, il est bien marqué A n+1 et B n+1 dans mon
énonce ! Relis le post ! Je ne sais pas ce que tu as fait !

[Anonyme]

Chose très drole : quand le lis tes messages sur les news de wanadoo,
le plus1 n'aparait pas, alor que sur un autre serveur tout marche
bien!

Je ne comprends pas pourquoi.


On Sat, 17 Jan 2004 18:57:37 +0100, "romamana"
wrote:

>
>"A n = (An)/2
>B n = (An*Bn)^(1/2)
>C'est évidemment la racine carrée qui me gêne
>
>
>Ce ne sont pas des relations de récurrence, il faut du An et du Bn
>
>
>C'est ton énoncé qui est étrange, il est bien marquéA n et B n dans mon
>énonce ! Relis le post ! Je ne sais pas ce que tu as fait !
>

[Anonyme]

Je cherchais des preuves pour m'exercer pour mon BAC S en maths, et je suis tombé sur ton problème parce que google a détecté Terminale S dans votre Discussion ( quelqu'un à dit que c'était un problème faisable par les TS ).
Alors je me suis penché dessus.
J'ai trouvé la réponse mais je suis pas très représentatif des Terminales S. On va dire que je suis un peu au-dessus de la moyenne des Terminales. Alors si ça t'intéresse encore je te passe ma solution car personne si je ne m'abuse à part quand il on dit que c'était faicle t'a donné clairement la solution :

D'abord j'ai cherché à montrer que Bn+1 >= Bn
0<= (An-Bn)^2
0<= An^2 - 2*AN*Bn+Bn^2
4*An*Bn <= An^2+ 2*AN*Bn+Bn^2
2 ( An*Bn )^0,5 <= An + Bn car An + Bn > 0
Ici on a donc Bn+1 <= An+1 ( au passage !)
2 An*Bn <= ( An + Bn ) ( An*Bn )^0,5 car An*Bn > 0
d'ou ( An*Bn )^0,5 <= ((( An + Bn ) / 2) * ( An*Bn )^0,5)^0,5
Ainsi Bn+1 <= (An+1*Bn+1)^0,5
Bn+1 <= Bn+2
Le plus dur est fait
An+1-An = (An +Bn)/2-An
= (Bn - An)/2
Or on a montrer plus que Bn+1 <= An+1
Bn - An <= 0
D'où An+1-An <= 0
An+1 <= An
Or B0 > 0 D'où Bn > 0 car (Bn) est une suite croissante
0 < Bn <= Bn+1 <= An+1 <= An

An+1 - Bn = (An+Bn)/2 - Bn = (An-Bn)/2
Or Bn+1 > Bn d'où An+1 - Bn+1 < (An-Bn)/2

Soit Vn = An - Bn d'où Vn+1 < Vn / 2
Soit Wn+1 = 1/2 Wn est une suite Géométrique de raison 1/2
D'où Wn = W0 * (0,5)^n
D'où lim en l'infini de Wn = 0
Or 0 < Vn < Wn
Donc d'après le théorème des gendarmes lim en l'infini de Vn = 0
'où lim en l'infini de An - Bn = 0
Or Bn est croissante
An est Croissante

D'où An et Bn sont deux suites adjacentes
Ainsi An <= L <= Bn ( Résultat de TS )
CQFD

J'espère que ça pourra te servir. En tout cas merci tu m'as permis de réviser mon programme sur les suites et d'approfondir un peu.

Choa