Suite majorée

[humpf]

Bonjour,

Encore un problème avec les suites
Je dois trouver la borne supérieure de la suite définie récursivement par et .
Il faut donc trouver M t.q 0. Donc, comment trouver M, qui est, si j'ai bien compris, la borne sup. ou majorant.

Est-ce quelqu'un peut m'éclairer un peu :marteau: ?
ps: si ça ne vous demande pas trop de travail, donnez-moi juste quelques indications qui me permettent de continuer par moi-même.

Merci beaucoup.

[yos]

Bonjour.
Je pense qu'il faut étudier la convergence et le sens de variation.
Si la suite converge vers L, alors ...

[humpf]

Merci. Mais, pour moi, ça ne fait que modifier le problème.
Comment je fais pour calculer (limite quand n tend vers l'infini, j'ai toujours pas pigé les limites en latex :bad: ).

[tize]

La suite est croissante (pas trop dur à montrer...) avec l'indication de Yos, tu trouveras la borne supérieure (à condition de montrer que la suite converge bien...)

[yos]

Si la suite converge vers L, alors , donc L²-L-p=0, donc (l'autre racine est négative).
Tu as une limite potentielle. Elle peut servir à majorer ou minorer la suite (selon le sens de variation). Pour le sens de variation, il y a des techniques classiques pour les suites récurrentes.
Je reviens plus tard si cela ne va pas.

[yos]

Me revoilà.
Si on pose on a et comme f est croissante, la suite est monotone : précisément est du signe de (ici positif). Donc suite croissante.
En notant L le candidat à la limite trouvé plus haut : , on a :
1) (facile).
2) Et si , alors (croissance de f) et donc .
On a donc prouvé par récurrence que L est un majorant de la suite.
Cette suite est donc convergente et sa limite ne peut être que L.
L est donc aussi la borne sup des .

[humpf]

Merci beaucoup yos pour ces précieuses explications :id:
Je crois que cette fois j'ai compris.

A bientôt :we: