Suite de fonctions

par **minidiane** » 11 Déc 2006, 10:37

Bonjour voilà je suis bloqué sur cet exercice.

Soit (fn)n appartient à N la suite de fonctions définies sur I=[0,2] par fn(x)= x^n/(1+x^n)

Montrer que la convergence est unifrome sur toute partie [0,a]U[b,2] avec 0Montrer que lim intégrale de 0 à 2 de fn(x) dx=1 quand n -> + infini

par **mathelot** » 11 Déc 2006, 11:52

soit f la fonction définie sur [0;2] par:

on a :

la convergence n'est donc pas uniforme sur [0;2].
la fonction

est croissante sur [0;2]
donc :

je te laisse conclure pour ce qui est de la convergence uniforme...

la limite des

est intégrable au sens de riemann et:

d'après la définition de f.

est majoré par la somme de trois termes:

ces trois termes peuvent être rendus aussi petits que l'on veut pour n assez
grand en choisssant a et b assez proches de 1.
donc

apprend ton cours et essaye de rédiger soigneusement ton exercice, il y a sûrement des points qui vont te paraitre obscurs.

par **minidiane** » 12 Déc 2006, 08:43

Merci ton aide mathelot mais je ne comprends pas tout.

je ne comprends pas très bien comment tu trouves
pour tout x appartenant à [0,a] 0<=f(x)<=a^n/(1+a^n)
pour tout x appartenant à [b,1] b^n/(1+b^n)<=f(x)<=1
Et après il faut que je montre que a^n/(1+a^n) et b^n/(1+b^n) tendent vers 0?
Je ne comprends pas trop peux tu m'aider encore un peu stp.
Merci.

par **fahr451** » 12 Déc 2006, 08:53

les inégalités viennent de la remarque de mathelot u->u/(1+u) croit et d ela croissancede x->x^n sur R+; oui en effet il reste à montrer la cv vers 0 et 1 respectivement uniquement pour a et b donc INDEPENDAMMENT DE x d 'où la c v uniforme sur chaque intervalle

D'autre part comme l 'a écrit mathelot chaque fn est continue sur [0,2] mais la limite f est discontinue en 1; la cv ne peut donc pas être uniforme sur [0,2]

par **mathelot** » 12 Déc 2006, 17:46

minidiane,
quels sont les limites des suites de termes généraux

et

sachant que a1 ?
ensuite tu compose ces limites par la fonction

par **minidiane** » 12 Déc 2006, 21:00

a^n converge vers 0 et b^n converge vers 1.
C'est sa?

par **mathelot** » 12 Déc 2006, 22:17

oui pour

. Par contre,

.

par **minidiane** » 14 Déc 2006, 08:35

D'accord du coup on a bien a^n/(1+a^n) et b^n/(1+b^n) tendent vers 0?
C'est bien sa?

par **mathelot** » 14 Déc 2006, 08:48

on compose les limites par la fonction

d'où

par **minidiane** » 14 Déc 2006, 09:13

D'accord je comprend mieux maintenant.
Merci.
Désolé de t'embèter encore mais je ne sais pas comment conclure que la connvergence est uniforme.

par **mathelot** » 14 Déc 2006, 10:31

d'ou:

ceçi prouve que la suite de fonctions tend uniformément vers la fonction nulle sur le domaine [0;a]

ceçi prouve que la suite de fonctions tend uniformément vers la fonction constante 1 sur le domaine [b;2]

par **minidiane** » 14 Déc 2006, 11:08

J'ai compris merci désolé parfois je suis un peu bête.

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