Suite de fonctions

[minidiane]

Bonjour j'ai un exercice à faire que je n'arrive pas à résoudre pouvez-vous m'aider?

fn(x)=n^t*sin^n(x) cos (x) fn:[0,pi/2]->R

1) Montrer que fn->0.
2) Montrer que fn->uniformément vers 0 ssi t<1/2.
3) Montrer que fn->uniformément vers 0 sur [0,a] avec 0

[yos]

1)On sépare le cas x=pi/2 des autres cas qui utilisent la comparaison exponentielle puissance.
2) On dresse le tableau de variation de fn (dérivée etc.) et on voit apparaitre sup(fn).
3) Même chose qu'au 1).

[minidiane]

Le problème c'est que je n'arrive pas à dresser le tableau de variation j'ai trouvé la dérivé mais après je suis bloqué: j'ai trouvé
fn'(x)=( n^tsin^(n-1)(x)))(ncos^2(x)-sin^2(x))

[yos]

ben c'est du signe de qui change de signe en que je note .
L'extremum se calcule en utilisant les égalités suivantes :
et .

[minidiane]

D'accord moi j'avais trouvé x=arctan de racine carrée de (1/n+1)

[minidiane]

Donc le sup c'est fn(arctan racine de n) et il faut que j'étudie sa limite en +l'infini c'est bien cela? Et je dois trouver 0.
Est-ce que sin^n x= tan^n x/(1+tan^n x)?

[yos]

On cherche si est le terme général d'une série convergente.
et ensuite tu élèves les deux membres à l'exposant n.

[minidiane]

Ok d'accord merci je vais essayer de trouver grace à cela.

Je suis désolé mais je n'y arrive pas, j'arrive pas à calculer fn et à trouver sa limite. :briques:

Je ne sais pas calculer tan^n(arctan racine carré de n)

[minidiane]

Personne ne peut m'aider un peu plus?

[yos]

,
donc
,
et ,
donc
.

De plus a pour limite , donc la série de terme général est de même nature que la série de terme général . Cette dernière converge ssi t-1/2<-1, ce qui équivaut à t<-1/2.
Je viens de voir que tu veux t<1/2, alors j'ai peut-être bien une erreur de calcul. Je te laisse chercher.

[minidiane]

Ok merci de m'aider yvos c'est très gentil à vous.
J'espère et je pense y arrivé maintenant.
J'ai juste encore des difficultés à bien comprendre la dernière question.

[sandrine_guillerme]

Bah tu fais la méthode classique pour le cas d'un intervall fermé et borné .. tu remplace par le plus grand au numérateur et le plus petit ou l'inverse dans le cas ou la fonction est monotone ..

Etc .. tu devrais t'en sortir
A+