Suite de fonction

[Obito31]

Bonjour à tous,

Comment montrer que la convergence est uniforme ? J'ai essayé avec le théorème des accroissement fini mais sans succès

http://www.zupimages.net/viewer.php?id=19/18/c7pl.jpg

[aviateur]

Bonjour
Soit K=[a,b]. Pour montrer que la convergence de la suite est uniforme sur K, il faut exploiter l'hypothèse qui implique que f est u-continue sur K.

[Obito31]

merci pour ta réponse aviateur malheureusement je vois pas comment faire..

[aviateur]

Bon déjà qu'est que tu as trouvé comme limite simple?

[Obito31]

j'ai trouver f'(x)
car f est C1 donc dérivable donc limite quand h tend vers 0 de [ f( x + h ) - f( x) ]/h existe et est égale à f'(x) en posant Un=1/n on a limite souhaité

[aviateur]

D'après les accroissement finis, il existe tel que

On a donc (1)

On travaille sur le compact K=[a,b]
f' est continue sur R, donc continue sur [a,b+1] et a fortiori uniformément continue sur [a,a+b+1].
Pour tout on a
On a x et dans et
D'après l'uniforme continuité de f' sur [a,a+b1] on a

On applique cela à (1) avec et n assez grand de sorte que
On a donc obtenu: :
c'est la CVU recherchée.

[Obito31]

merci !!