Suite et espace vectoriel

par **Fanfan** » 18 Fév 2007, 14:50

Bonjour,

E : ensemble des suites réelles indexées par N, telles que pour tout entier naturel n :

Un+2 - Un+1 - 2*Un = 0

Je veux montrer que c'est un espace vectoriel. La bonne méthode est-elle de montrer que c'est un sous-espace de l'ensemble des suites réelles, et si c'est ça, comment montrer que l'ensemble des suites réelles est un espace vectoriel ?

Merci pour vos aides !

par **fahr451** » 18 Fév 2007, 15:02

bonjour

c'est la bonne méthode

n'as tu pas un cours avec les espaces "usuels" dont celui des suites réelles?

sinon il faut prendre les propriétés(10?) de R ev une à une et vérifier qu 'elles sont bien vérifiées

par **Fanfan** » 18 Fév 2007, 15:10

Je n'ai rien concernant ' espace usuel' mais as-tu un exemple d'espace usuel, cela a peut etre été renommé ou supprimer du programme

par **fahr451** » 18 Fév 2007, 15:26

tous les espaces que l'on rencontre "habituellement" sont usuels
R^n , Rn[X], R[X] espaces de fonctions,de suites

par **Fanfan** » 18 Fév 2007, 15:46

ok je vais voir, merci

par **Fanfan** » 18 Fév 2007, 16:37

Grâce à tes conseils j'ai obtenu que E est un R-espace vectoriel.

maintenant je dois montrer que l'application f, qui à toute suite u de E associe la suite v définie par Vn=U(n+1), est un endomorphisme de E.

Donc f(Un)=U(n+1)=Vn d'où

V(n+1) - Vn - 2*V(n-1)=0

Cela suffit-il pour dire que f est un endomorphisme de E ?

par **fahr451** » 18 Fév 2007, 16:54

non

tu as montré que f allait bien de E dans E

il reste la linéarité de f

par **Fanfan** » 18 Fév 2007, 17:22

je n'arrive pas à voir qu'elle méthode utilisé pour montrer la linéarité ! :briques:

par **fahr451** » 18 Fév 2007, 17:52

la définition

avec les suites c 'est tjrs plus délicat au début
prends
u et u ' deux suites pose v = f(u) , v ' = f(u')

prends deux scalaires a et a '

pose u '' = a u + a' u' et v " = f (v)

la linéarité est
f(au+a'u') = af(u)+a'f(u')
donc v " = a v + a' v' ?

et il suffit de prendre pour tout n le terme de rang n pour voir l égalité

par **Fanfan** » 18 Fév 2007, 23:06

Après beaucoup de :hein: , j'ai :id: . Je ne suis pas sur, mais voilà peut-être la linéarité :

J'ai montré que V(n+1)-Vn-2*V(n-1)=0

et je sais que f(Vn)=U(n+1)=U(n+2)-2*Un

alors : f(k*Vn)=k*U(n+1)

=k*(U(n+2)-2*Un)

=k*(V(n+1)-2*V(n-1)

=k*Vn
donc f est linéaire ! Mais j'imagine que c'est :marteau:
Bonne soirée

par **aviateurpilot** » 19 Fév 2007, 02:08

et on a alors:

et

.
E est une espace vectoriel de base

.

par **Fanfan** » 01 Mar 2007, 20:08

Pouvez-vous m'expliquer comment de U(n+2)-U(n+1)-Un=0,
on en déduit que cela equivaut à a(-1)^n+2^n b

Suite et espace vectoriel

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