Suite d'ensembles !

[barbu23]

Bonsoir:
J'ai du mal à comprendre quelques notations concernant les suites d'ensembles, les voiçi :


Question :
1) Pourquoi on les note comme ça : et , c'est à dire, quel est l'origine de ces deux notations ... est ce qu'il ont un rapport avec la definition des bornes superieurs et des bornes inferieurs de ces ensembles ? ( c'est à dire, toute partie non vide et majorée admet une borne superieure ... etc ).
2) Soit une suite de parties d'un ensemble .
Comment montrer que :
.
Rappel:
et
Merci infiniment !!!

[barbu23]

Bonsoir:
Dans un autre bouquin, je trouve ceçi :
Soit : .
On pose : .
On a :
.
est donc croissante ( admet une borne superieure ).

.
De l'autre coté :
On pose : .
On a :
.
est donc décroissante ( admet une borne inferieure ).

.
Question:
Est ce que celà a un rapport avec le sujet ?!.
Marçi d'avance !!!

[BQss]

On les note limsup et liminf tout comme on parle de limsup et liminf pour des fonctions.
La lim sup c'est le plus grand ensemble en + l'infini s'il existe ou plus generalement le plus petit majorant en + l'infini, la limite inf c'est le plus grand minorant en + l'infini.

exemple:
de la suite vaut et sa

Une autre facon de le voir tres utile en probabilité c'est:

et

[BQss]

ici tu peux voir la que c'est l'union en + l'infini , car l'intersection des unions, c'est a dire la plus petite, et donc le plus petit majorant en + l'infini


la tu peux voir que c'est la plus grande intersection, et donc l'intersection en + l'infini, c'est a dire le plus grand minorant en + l'infini.

respectivement la limite superieur et la limite inferieur.

Quand un ensemble converge , ces deux limites sont egales. Idem que quand une fonction converge simplement, sa limite sup et sa limite simple sont identiques.

Je te fais une petite animation que je poste dans quelques minutes.

[barbu23]

BQss, c'est quoi limsup , liminf pour des fonctions ?!
D'abord, merçi pour ta première reponse !!

...plus generalement le plus petit majorant en + l'infini, la limite inf c'est le plus grand minorant en + l'infini.

limsup signifie la borne superieure en + l'infini et liminf signifie la borle inferieure en + l'infini ...
Est ce que c'est vrai ça ?!!

[BQss]

limsup signifie la borne superieure en + l'infini et liminf signifie la borle inferieure en + l'infini ...
Est ce que c'est vrai ça ?!!

oui la borne sup et inf pour l'inclusion si elles existent.

Pour les fonctions c'est pareille mais c'est la borne sup et inf pour la norme de la convergence( si l'espace est ordonné biensur ce qui est le cas des suites réelles).

[legeniedesalpages]

Salut barbu

un petit lien sympa http://en.wikipedia.org/wiki/Limsup

[BQss]

Bon mon logiciel d'animation marche plus, mais ca devrait aller la ;).

[legeniedesalpages]

dans , une suite a pour limite inférieure la borne inférieure de l'ensemble de ses valeurs d'adhérence, et a pour limite supérieure la borne supérieure de l'ensemble de ses valeurs d'adhérence.

On peut adopter une définition plus générale à l'aide des bases de filtre des concepts de limite supérieure et limite supérieure d'une fonction.

[barbu23]

Merci beaucoup "legeniedesalpages" .. !
Merci à toi aussi "BQss", j'attends ta petite animation que tu vas poster dans quelques instants !!

[barbu23]

D'accord "BQss" !!

[legeniedesalpages]

Pour bien faire le rapprochement entre le concept de liminf (limsup) d'une suite, d'une fonction, d'une suite d'ensembles, ...
je pense qu'il vaut mieux étudier les bases de filtre et toutes les notions de convergence et d'adhérence à l'aide des base de filtre.
C'est pour la mesure que tu vois les liminf et limsup barbu?

[barbu23]

oui "legeniedesalpages" !!

[legeniedesalpages]

moi aussi, je suis dedans mais j'ai l'impression de pas avancer, enfin ça va changer de la topo un peu :lol2:

[legeniedesalpages]

Quand un ensemble converge , ces deux limites sont egales. Idem que quand une fonction converge simplement, sa limite sup et sa limite simple sont identiques.

Attention BQss, tu devrais préciser une suite de fonctions qui converge simplement, dans ce cas on parle de (resp. ),
mais pour une fonction numérique , on a aussi ou , et plus généralement , avec une base de filtre sur l'ensemble de départ.
Il peut y avoir confusion.

[BQss]

je parlais evidemment des suites de fonctions, nous parlions ici de suite d'ensemble(de plus la convergence "simple" indique que l'on parle de suite). C'est celle qui correspond en remplacant inf par inter et sup par union, limsup par exemple vaut inf sur n des sup n>m.

L'autre definition dont tu parles ne concerne pas les suites et sert rarement, par ailleurs la comparaison ne peut se faire aussi facilement qu'en la comparant a une suite.

j'en parle d'ailleurs juste apres en lui repondant ...

Pour les fonctions c'est pareille mais c'est la borne sup et inf pour la norme de la convergence( si l'espace est ordonné biensur ce qui est le cas des suites réelles).

...

[legeniedesalpages]

ok Boss, j'avoue avoir cherché la petite bête :briques:

[BQss]

;)

ca m'arrive aussi qu'en je m'emmerde :briques:, y compris ici :ptdr:

[legeniedesalpages]

juste un truc, il me semble que l'espace d'arrivée doit être non seulement ordonné mais aussi être complètement réticulé, non?

[BQss]

juste un truc, il me semble que l'espace d'arrivée doit être non seulement ordonné mais aussi être complètement réticulé, non?

toute suite réelle possede une limsup et une liminf
, vu que R possede la propriété de la borne sup( si l'ensemble des points d'accumulation n'est pas majoré limsup vaut tout simplement +inf)...

Ensuite cela dépend en effet de l'ensemble, l'existence d'une lim sup ou lim inf depend directement de la capacité de l'ensemble à toujours posséder ou pas une borne inf et une borne sup.
S'il est normé(vaut mieux si on cherche une limite...) vu que R est ordonné et que la norme est a valeur dans R on pourra toujours comparer, cependant il est vrai que l'on ne pourra pas toujours trouver un plus petit majorant/plus grand minorant et donc une lim sup et une lim inf.
Réticulé je ne pense pas que ce soit suffisant car l'ensemble des points d'accumulation n'est pas forcement fini, disons qu'il faut et il suffit que tout ensemble de point denombrable de cette ensemble(vu qu'on travaille sur des suites) possede une borne sup et une borne inf.