Suite et convergence

[MacManus]

Bonjour

Soit la fonction f définie sur [0,1] par (pour nN* fixé)

x[0,1]

puis :


Est-ce que tout ça est correct ou pas ??

Merci beaucoup !

[fatal_error]

Bonjour,

quand tu dérives, le nieme terme devient

Donc faut pas que t'aie n+1 au dessus de la somme sinon t'as un terme de trop.

Par ailleurs, t'oublies de dériver .


Du moins je pense :p

[MacManus]

Ok je dois plutôt avoir un n au dessus de la somme dans ce cas

Oui j'avais obtenu la même dérivée que toi (à l'exception des indices sur la somme). J'avais pris comme constante.... je ne sais pas pourquoi.

Du coup on obtient bien la majoration voulue

Merci :id:

[Black Jack]

Et si on réfléchit ainsi ?

f(x) = e^-x * [1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + x^n/n!]

C'est de la forme f = u.v et donc f ' = uv' + v.u'

f '(x) = -e^-x * [1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + x^n/n!] + e^-x *[1 + 2x/2! + 3x²/3! + ... + n.x^(n-1)/n!]

f '(x) = -e^-x * [1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + x^n/n!] + e^-x *[1 + x + x²/2! + ... + x^(n-1)/(n-1)!]

...

Presque tout se simplifie ...

Essaie.

:zen:

[MacManus]

J'ai mon petit cahier de brouillon ou je peux me lacher sur n'importe quel développement ! J'ai osé et je suis d'accord en disant que ça se simplifie :happy3:

J'ai une dernière question sur cet exercice ...

Je considère la suite de terme général (je me souviens que la limite de cette suite est e d'ailleurs)

Je dois montrer que

Je suppose que je peux/dois utiliser les résultats précédents (cf posts précédents)... une piste ?

merci encore pour vos explications !

[The Void]

Salut,

L'inégalité de Lagrange dit que |exp(x)-x*un| <= (exp|x|*|x|^(n+1)) / (n+1)!

Prendre x=1.

[fatal_error]

j'ai une solution mais bon, chui pas tres sur niveau rigueur :marteau:
On remarque deja que

Et donc la on appliquerait le TAF (dures les vacances)
du coup
En disant que car y comprit pour x=0...

mmh..est-ce faux? :hein:

[MacManus]

salut !

oui je m'étais aperçu que f(1) =
et je pense qu'appliquer le TAF , comme tu dis fatal_error, est une bonne chose. (peut-être plus explicite que l'inégalité de Lagrange...enfin c'est mon point de vue...)

merci à vous

[MacManus]

Bjr !

J'ai un autre exercice sur les suites.
Soit la suite de terme général

1) Montrer que pour tout entier , on a
2) en déduire que la suite est bornée.

Je ne parviens pas retrouver l'inégalité du 1)...
merci pour votre aide !

[Skullkid]

Bonjour, applique l'égalité des accroissements finis à la fonction .

[MacManus]

En appliquant l'inégalité des accroissements finis à la fonction , avec , j'obtiens :


en remplaçant x par k et en changeant de signe de chaque coté de l'inégalité, on a bien l'inégalité voulue.

Merci Skullkid