Convergence d'une suite

[Anonyme]

Bonjour,

Je cherche à montrer la convergence de la suite (Un) de terme général Un= somme, avec k variant de n à 2n, de (1/k). On a par ailleurs montré précedemment que pour tout entier naturel k différent de 0, il existe c appartenant à ]k,k+1[ tel que ln(k+1)-ln(k)= 1/c
J'ai reussi à montrer que la suite (Un) est croissante, mais par contre je n'arrive pas à prouver qu'elle est majorée...Je ne sais pas si c'est la bonne méthode...
Merci d'avance.

[flight]

salut

n<= k<=2n
(1/n)>=(1/k)>=(1/2n)

SOM(1/n)>=SOM(1/k)>=SOM(1/2n) pour k compris entre n et 2n

(n+1)/2n<=SOM(1/k)<=(n+1)/n

alors SOM(1/k) pour k compris entre n et 2n est majoré par (n+1)/n

[Alpha]

Bonjour,
On a par ailleurs montré précedemment que pour tout entier naturel k différent de 0, il existe c appartenant à ]k,k+1[ tel que ln(k+1)-ln(k)= 1/c

C'est une application directe du théorème des accroissements finis.

J'ai reussi à montrer que la suite (Un) est croissante, mais par contre je n'arrive pas à prouver qu'elle est majorée...Je ne sais pas si c'est la bonne méthode...

Dans la somme des 1/k, k allant de 0 à n, le plus grand terme est 1/n. Or il y a n+1 termes, donc comme cela a déjà été dit, pour tout n, . Mais comme , pour tout n, Un est majorée par 2.

Alpha

[Anonyme]

Merci à vous deux pour vos réponses rapides !!
pour le théorème des accroissements finis ça j'y avais pensé...
Par contre je me demande comment déterminer la limite de cette suite...on ne peut pas utiliser le théorème d'encadrement puisque le minorant et le majorant n'ont pas la même limite et je ne vois pas trop quoi utiliser d'autre...
A+ merci

[Alpha]

J'ai peut-être un début de réponse : une meilleure minoration de la limite de Un.

On a, .

Donc , or ,

donc par téléscopage, il vient somme de n à 2n de , qui tend vers quand n tend vers l'infini.

La limite de Un est donc supérieure ou égale à .

[dilzydils]

Salut

Moi je fais ca différemment:

pour tt k dans [n,2n] tu as ck ((lire c indice k)) tel que ln(k+1)+ln(k)=1/ck.
Tu ajoutes mbre à mbre tu as alors:
sum(1/ck,k=n..2n)=ln(2n+1)-ln(n) donc cette somme tend vers 2.
Tu sais aussi que kTu sommes puis tu encadres Un.
D'apres le théoreme des gendarmes Un tend vers ln2.

[Alpha]

Juste une remarque : x -> 1/x étant décroissante, ce que j'ai fait aurait pu être fait plus simplement par une comparaison avec une intégrale, en remarquant que


(il suffit de faire un dessin pour s'en convaincre)

[Galt]

On peut aussi écrire que est une somme de Riemann de la fonction entre 1 et 2, et qu'elle converge donc vers

[Alpha]

Effectivement c'était direct! Pfff il faut que j'aille me reposer, en plus je l'avais presque écrit dès le début...

A+

[Anonyme]

[quote="dilzydils"]

Tu sais aussi que k somme de 1/ck > somme de 1/(k+1) mais Un=somme de 1/k Comment arrives-tu à établir un encadrement approprié pour utiliser le théorème des gendarmes à partir de cette inégalité là ?
J'ai du sauter une étape...lol