Suite de Cauchy

[fatal_error]

Bonjour,

j'ai besoin dun peu d'aide pour montrer qu'une suite est de cauchy, j'ai un peu de mal sur les assertions quantifiées...

Voici l'énoncé:
Soit E l'ensemble des suites numériques qui sont nulles a partir d'un certain rang.
Soit N la norme :
Soit X_n € E, tq Xn=(1,1/2,1/3,...,1/n,0,0...)

Montrer que (Xn) est de cauchy.

J'ai donc ecrit :
si (Xn)est de chauchy, qqsoit epsilone, il existe Gn (grand n...) tq qqsoit m>n>Gn, N(Xm-Xn)<epsilone

Je me trouve donc avec
Mais je n'arrive pas a trouver Gn...

Toute aide est bienvenue! :happy2:

[tize]

Rebonjour,
tu es sur de ton énoncé ? Car cette suite n'est pas de Cauchy... (prendre m=2n et minorer par 1/2...)

[yos]

Soit X_n € E, tq Xn=(1,1/2,1/3,...,1/n,0,0...)

Suite pas bien définie on dirait.

[fatal_error]

Sauf erreur de ma part oui,
mais par précaution voici lexo.

[busard_des_roseaux]

Il y a une erreur d'énoncé.
J'ai reconstitué l'énoncé et surtout son but:

On considère F l'ensemble des suites réelles nulles sauf pour un nombre fini de termes.

F est un espace topologique (avec des ouverts). La topologie
peut être définie par l'une ou l'autre des normes:





Ensuite, on exhibe la suite de suites qui sert de contre-exemple:
est de Cauchy pour la norme
mais pas de Cauchy pour la norme

conclusion: être de Cauchy n'est pas une notion topologique mais métrique.

[yos]

Ah je viens de comprendre : est une suite dont chaque terme est une suite.

Calcule la norme.

[fatal_error]

Oki, merci a vous!

[busard_des_roseaux]

bonjour Yos, un petit coucou :we:

[alavacommejetepousse]

bonjour

un énoncé faux et maladroit car cette norme notée ll llinfini est la norme
ll ll 1 pour tout le monde (comme le rappelle busard des roseaux)
la suite de l'énoncé n'est pas de cauchy pour la norme de l'énoncé (déjà dit )

en revanche

X'n = ( 1,1/2,1/4,...,1/2^n ,0...) l'est et ne converge pas dans E.

[busard_des_roseaux]

bonjour

un énoncé faux et maladroit car cette norme notée ll llinfini est la norme
ll ll 1 pour tout le monde (comme le rappelle busard des roseaux)
la suite de l'énoncé n'est pas de cauchy pour la norme de l'énoncé (déjà dit )

en revanche

X'n = ( 1,1/2,1/4,...,1/2^n ,0...) l'est et ne converge pas dans E.

pour les deux normes. laurent Schwartz (décédé en 2002) exhibe dans un de ses livres un e.v topologique complet pour une de ses normes et pas pour l'autre. Je pense que c'est possible pour une suite d'être de Cauchy pour deux normes différentes et de converger pour l'une et pas pour l'autre.

L'énoncé est intéressant car il est lié aux espaces duaux
On peut étudier la forme bilinéaire


selon les différentes normes |.|_{1} et , et les différentes topologies sur les duaux (forte, faible, faible_*..)
on finirait par faire un bel exercice. :zen:

[alavacommejetepousse]

l1 est complet pour ll ll1 et pas pour ll llinfinie