Suite de cauchy.

[Purrace]

Bonsoir ,


On revient a la definition des suites appelles suites de cauchy , et on me demande de demontrer qu'une suite de cauchy est bornee et convergente et qu'une suite convergente est de cauchy.

Pour l'instant je voudrais avoir des indications sur la methode a utiliser pour demontrer qu'elle est bornee , car j'ai trifouiller la question dans tout les bouts , mais je vois pas comment proceder.

Voila merci de vos indications.

[ThSQ]

une suite de cauchy est bornee et convergente

Tu écris |u(n0) - u(m) | n0 et |u(n)| est majorée par max (max (|u(i)|,i=1..n0), 1+|u(n0)|).

Le 2ème point est faux si l'espace n'est pas complet (ex ).

une suite convergente est de cauchy.

|u(n)-u(m)| <= |u(n)-l| + |u(m)-l|

[Purrace]

Je doit avouer que le premier point , je comprend pas trop comment tu procede car nous dans l'enonce on part de |Un+k-Un|<=e, juste comment tu definit ton n0 et ton m , sinon le reste j'ai compris.

[ThSQ]

[quote="Purrace"]Je doit avouer que le premier point , je comprend pas trop comment tu procede car nous dans l'enonce on part de |Un+k-Un|= n0 => |u(n)-u(m)| < 1

[Purrace]

ah ok d'accord.

[xyz1975]

Une suite de cauchy est bornee et convergente

Dans la définition d'une suite de Cauchy on observe deux paramètres p et q (ou alors m et n) on peut fixer un et faire varier l'autre puis faites comme il l'a dit ThSQ.

qu'une suite convergente est de cauchy.

Je ne suis pas d'acord :
Une suite REELLE convergente est de Cauchy puisque l'espace R est complet ce n'est pas le cas pour les rationnels.
La suite Un=(1+1/n)^n est de Cauchy dans Q mais elle converge pas vers un réel.
De même pour la suite
Un=somme de 0 à n de : 1/k!.