Suite de Cauchy

par **jeje56** » 18 Juin 2007, 20:25

Bonsoir,
Je me pose cette question : est-il possible de trouver un exemple simple de suite de Cauchy non convergente? Dans R* par exemple... Merci!

par **quinto** » 18 Juin 2007, 20:29

jeje56 a écrit:Bonsoir,
Je me pose cette question : est-il possible de trouver un exemple simple de suite de Cauchy non convergente? Dans R* par exemple... Merci!

Bonjour,
x_n=1/n est de Cauchy non convergente dans R*.

a+

par **jeje56** » 18 Juin 2007, 21:08

Exact, merci bcp!

par **jeje56** » 20 Juin 2007, 12:10

Bonjour,
Peut-on affirmer que tout ensemble R privé d'au moins un élément est non complet?
Par exemple : R\(1) : il suffit de trouver une suite de Cauchy qui converge vers 1 dans R, par exemple 1/n + 1... Je fais peut-être fausse route, pouvez-vous m'éclairer...
Merci

par **kazeriahm** » 20 Juin 2007, 12:17

oui c'est vrai, et de manière plus générale, tout complet est fermé.

Donc si E est complet et x dans E, E\{x} étant ouvert ne peut etre complet

par **jeje56** » 20 Juin 2007, 12:23

Dac, merci bcp ;-)

par **bruce.ml** » 20 Juin 2007, 12:24

kazeriahm a écrit:oui c'est vrai, et de manière plus générale, tout complet est fermé.

Donc si E est complet et x dans E, E\{x} étant ouvert ne peut etre complet

E\{x} n'est pas ouvert en général ! mais il n'est effectivement plus fermé.

par **quinto** » 20 Juin 2007, 14:45

kazeriahm a écrit:Donc si E est complet et x dans E, E\{x} étant ouvert ne peut etre complet

Un ensemble ouvert peut très bien être complet, il n'y a aucune raison que ce ne soit pas le cas.

oui c'est vrai, et de manière plus générale, tout complet est fermé.

Ca n'a pas beaucoup de sens, il faut préciser par rapport à quoi on travaille.
Q en tant qu'espace topologique est non complet mais est fermé dans lui même.

E\{x} n'est pas ouvert en général ! mais il n'est effectivement plus fermé.

Dans un espace métrique, un singleton est toujours fermé. Si tu considères E comme espace complet, {x} est fermé et donc son complémentaire dans E est ouvert dans E, non ?
Et il n'y a pas de raison qu'il ne soit pas fermé non plus.

En bref, en topologie il faut faire attention aux implications et équivalentes qui paraissent évidentes, parce que ça joue souvent des tours.

a+

par **jeje56** » 20 Juin 2007, 17:36

J'avoue que je ne comprend pas tout... en résumé quelle proposition peut on dégager? Tout complet est fermé, est-ce exact?

par **quinto** » 20 Juin 2007, 17:44

jeje56 a écrit:J'avoue que je ne comprend pas tout... en résumé quelle proposition peut on dégager? Tout complet est fermé, est-ce exact?

Non, ca n'a pas de sens.
On peut dire que si X est complet, alors Y dans X est fermé dans X si et seulement si Y est complet.

par **jeje56** » 20 Juin 2007, 17:50

Ok, je vais essayer d'approfondir tout ça... Merci Quinto

par **quinto** » 20 Juin 2007, 17:51

De rien.
a+

par **kazeriahm** » 21 Juin 2007, 11:00

oui desole c'est vrai que moi le peu de topologie que j'ai fait,c'était dans les evn.. bref desole pour ces betises

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