Suite de Cauchy .. ?

[sandrine_guillerme]

Salut tout le monde ..

j'ai un petit exo qu'est le suivant

On note \large (u_n) une suite de nombre réels. On suppose que (u_n) est de Cauchy et on veut montrer sa convergence ..



a/ Montrer qu'on peut définir une suite \large (v_n)_{n\ge k} par \large v_n = sup_{k\ge n} u_{k}
cette question veut dire que \u_n est bornée ? si c'est le cas c'est simple en utilisant la proposition " toute suite de Cauchy est bornée .. (?)

b/ ensuite je veux montrer que \large (v_n) est décroissante.. La je ne vois pas comment faire ..car v_{n+1}-v_n ne donne pas grand chose ..

c/ conclure .

la je suppose de montrer que u_n et v_n sont adjacentes et donc u_n converge ..


Je vous prie de me corriger svp ?
Merci beaucoup

[jose_latino]

Salut tout le monde ..

j'ai un petit exo qu'est le suivant

On note une suite de nombre réels. On suppose que est de Cauchy et on veut montrer sa convergence ..



a/ Montrer qu'on peut définir une suite par
cette question veut dire que \u_n est bornée ? si c'est le cas c'est simple en utilisant la proposition " toute suite de Cauchy est bornée .. (?)

b/ ensuite je veux montrer que est décroissante.. La je ne vois pas comment faire ..car ne donne pas grand chose ..

c/ conclure .

la je suppose de montrer que et sont adjacentes et donc u_n converge ..


Je vous prie de me corriger svp ?
Merci beaucoup

Toute suite de Cauchy est bornée. Pour démontrer ça, tu peux fixer un , alors il existe tel que , pour tout , en particulaire:
, pour tout . Avec ce résultat tu puisses concluire que la suite est bornée.

[jose_latino]

Pour la deuxième question, il faut remarquer que si

[sandrine_guillerme]

comment montrer cette inégalité José stp ?? et comment conclure quant à la monotonie ?

[jose_latino]

C'est presque à cause de la définition de suprême: si , le suprême de est un borne supérieur de , donc cela est un borne supérieur de aussi, comme est le plus petit borne de , tu as l'inégalité.

[jose_latino]

Remarque que ; fais le même remarque avec :id: bon courage

[sandrine_guillerme]

Ah oki Merci simplement . LoL
Bon courage José : )

[sandrine_guillerme]

Excusez moi je me permes .. car une question m'est intervenu à l'esprit de passage au lieu de montrer que u_n et v_n sont adjacentes parceque u_n n'est pas forcément croissante .. .. je calcule lim u_n - v_n = 0 quand n tend vers l'infini ..


Quelqu'un aurrait une idée ?

[jose_latino]

Tu peux utiliser que la suite est de Cauchy et que est convergente.
Soit , alors il existe tel que si alors mais il existe aussi tel que si alors . Par définition de suprême, ils existe qui peut être pris très grand, comme tu veux, tel que . Il faut combiner les trois résultats pour réussir :space: Bonne chance :zen:

[sandrine_guillerme]

Bonsoir José,
excuse moi mais j'avais une journée de Ouf je vais essayer de voir ta proposition ce soir .. j'espere que je vais y arriver,
Merci Bien JosE !