Suite de Cauchy

[kichnifou]

Bonjour,
j'ai un problème avec un exercices sur les suites de Cauchy
En voici l'énoncé :

On considère l’espace vectoriel normé (C([0, 1]), ||.||1).
Soit, pour tout n € N*, la fonction fn € C([0, 1]) définie par :

fn(t) =
1 ;) nt si t <= 1/n
0 si t > 1/n

Montrez que :
1. la suite (fn)n€N* est une suite de Cauchy dans (C([0, 1]), ||.||1) ;
2. Montrez que la suite (fn)n€N* converge vers la fonction nulle dans (C([0, 1]), ||.||1).


Voilà,
Alors déjà, la définition d'une suite de Cauchy c'est que quelque soit e>0, il existe un rang N, ainsi que n et m > N, tel que d(xn, xm)Je pense donc qu'il faut dire que de toute manière, après un certain rang N, la fonction vaut zéro, et que donc, la distance entre deux point de rang supérieur à N seront toujours inférieur à 0. non?
C'est ça mon problème, je ne parviens pas à trouver une méthode pour le prouver mathématiquement.
Pourriez-vous me donnez une piste de réflexion s'il vous plaît?
Merci d'avance.

[bentaarito]

déjà ta définition pour une suite de Cauchy est partiellement fausse

[kichnifou]

Oui c'est vrai, mais je ne sais pas comment utilisé les symbole.
Enfin bon, je n'ai toujours pas de piste pour démarrer.

[Maxmau]

Bj
D'après la déf de la norme 1 : d(f,g) est égale à l'intégrale sur (0,1) de la valeur absolue de f-g
Ici donc: un calcul simple donne d(fn , fonction nulle partout) = 1/2n

[kichnifou]

Oui je vois, mais je ne vois pas ce que ça prouve?

[Maxmau]

d(fn , fonction nulle partout) = 1/2n
donc d(fn , fonction nulle partout) tend vers zéro pour n infini
la suite (fn) converge donc vers zéro au sens de la norme 1

[kichnifou]

Ah mais c'est pour le petit 2. d'accord!
Merci bien! :lol3:

[Maxmau]

Ah mais c'est pour le petit 2. d'accord!
Merci bien! :lol3:

toute suite convergente est une suite de Cauchy