Suite de cauchy

[lisonn]

Bonjour,

je veux montrer que si une suite de Cauchy admet une sous-suite convergente alors elle converge.

Je prends une suite de Cauchy et une sous suite qui converge vers l. Il existe un tel que => et un tel que => .

On a .
Mon problème est en fait au niveau des indices, une fois arrivé là, pour quels n la relation ci dessus est elle vraie.
Il faut et , je me mélange entre les n et les k :mur:

[mathelot]

Bj,

pour une suite extraite
l'extractrice

est une application strictement croissante de N dans N et tend donc vers l'infini avec l'entier

[Nightmare]

Salut,

le fait d'être une suite de Cauchy dit grossièrement que les termes de la suite sont de plus en plus proche. Par définition d'une valeur d'adhérence, la suite va admettre une infinité de terme (notre suite extraite) autour de cette dernière, aussi proches que l'on veut. Mais comme à partir d'un certain rang les termes de la suite sont de plus en plus rapprochés, en particulier ils sont de plus en plus proches des termes de la sous-suite et donc de du coup de la valeur d'adhérence (c'est ce que dit l'inégalité triangulaire de ton post), d'où la convergence.

[Ben314]

Salut,

Je prends une suite de Cauchy et une sous suite qui converge vers l.
Je fixe un
Il existe un tel que => et un tel que => .
Comme tend vers +oo lorsque k tend vers +oo, il existe un tel que
Pour tout on a alors .

[lisonn]

Merci à tous! C'est plus clair maintenant