Structure Algébrique

[JésugnonADJAKIDJE]

Bonjour à tous.
Exercice:

Soit n un entier naturel non nul. Montrer qu’il n’existe pas de ra-
tionnels x et y tels que x+y +1/x +1/y=3n

[JésugnonADJAKIDJE]

Veuillez me répondre svp. Moi j'ai voulu raisonner par l'absurde en posant x=p/q et y=s/t avec p^t=s^t=1.
J'ai transformé l'égalité jusqu'à trouver
(pt+qs)(ps+qt)=3npqst. Je cherche l'absurdité mais je trouve pas.

[aviateur]

Bonjour
Le nombre n'est qu'un trop l'oeil car si il n'y pas de solutions réelles >0.
Le seul cas à étudier est donc

[JésugnonADJAKIDJE]

Stp j'ai pas encore compris pourquoi pour n\geq2 il n'y a pas de solutions réelles strictement positives

[JésugnonADJAKIDJE]

#Aviateur
En posant x=y=\frac{3+\sqrt{5}}{2} j'ai
\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{3-\sqrt{5}}{2} et je trouve x+y+1/x+1/y=3*2. Sauf si j'ai pas compris ce que tu veux dire en disant que n=1.

[aviateur]

Rebonjour, Non je me suis trompé il faut dire le contraire:
pour tout x,y>0. (vient de x+1/x>=2).
Ce qu'il faut dire c'est que pour n=1 il n'y a pas de solution.
Alors c'est qu'il faut étudier.

[aviateur]

ReBonjour
voici une piste à explorer
On pose x+1/x=p/q (irréductible) donc y+1/y=3-p/q.
Donc en calculant x et y en fonction de p et q on voit que nécessairement
est un carré parfait ainsi que

On a (z,2q,p) est un triplet pythagoricien.
Voir alors les expressions possibles de p et q
Faire de même avec le second carré parfait et voir si les expressions sont compatibles pour trouver des solutions ou non.

[JésugnonADJAKIDJE]

#aviateur grand merci. Je vais essayer le piste et te rendre compte.

[aviateur]

Rebonjour
Sinon on peut faire comme ceci:
posons et fractions irréductibles

est équivalent à


ou encore
à



Soit a un diviseur premier de p (resp de q) , il ne peut diviser sinon il diviserait donc q.

Donc a divise (idem pour q).

De façon analogue un diviseur de ou de va diviser p q.

Autrement dit on a


La dernière équation devient donc



ou encore mod (3)

On étudie chaque cas possibles (mod 3).
Supposons que p=0. Alors (car p et q premiers entre eux)
Mais alors ou exclusif mais alors on a une somme de 2carrés de nombre non nuls égal à 0 et c'est impossible.

Pour des raisons de symétries on en déduit que

Supposons p= q=1 alors soit p_1=q_1=1 soit p_1=q_1=2.
Dans tous les cas mod (3)

Supposons alors par exemple et mais encore une fois
mod (3)

Les autres cas étant des cas "symétriques" on a fini. Il n'y a aucune solution.

[JésugnonADJAKIDJE]

Merci pour le résultat