Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange

[checkmaths]

Bonsoir, je suis étudiant en L3 Maths et je vais au rattrapage...
Je suis donc en train de refaire un exercice de l'examen de Calcul Différentiel de juin 2017.



Et là, je suis complètement paumé...

Pourriez-vous m'aider svp ?

[aviateur]

Bonjour
est un ouvert et donc il existe une boule ouverte de centre a et de rayon r>0 incluse dans On a évidement où
est la boule ouverte de centre 0 , p la projection sur parallèlement à et (I-p) la projection sur parallèlement à .
On a donc bien
Il reste à démontrer que chaque est un voisinage ouvert de 0 dans En fait il faut démontrer
que est la boule ouverte de centre 0 et de rayon r dans

[Ben314]

Salut,
J'ai un peu des doutes concernant cette partie là :

qui n'est valable que pour certaines normes.
Par exemple, si on prend la norme euclidienne sur E=R^2, et que E1 et E2 sont les deux axes, les projection de la boule unité B(0,1) de R^2 sur les axes sont [-1,1]x{0} et {0}x[-1,1] dont la somme est [-1,1]x[-1,1] qui n'est pas égal à B(0,1).
Mais bon, sur le principe, ça marche quand même vu que toutes les normes sur un e.v. de dim. fini sont équivalentes et que le résultat à démontrer ne dépend pas de la norme choisie : on peut donc expliquer qu'il existe des normes telle que la formule en rouge çi dessus soit valable (ou alors on raisonne par inclusion et pas par égalité)

[checkmaths]

Merci bcp j'avais pas du tout pensé à sortir le . Mais, juste histoire de bien comprendre , on peut bien écrire où pcq ?

[Ben314]

Bis et répéta....
Si la norme sur E=R^2, c'est la norme euclidienne, et que E1=Rx{0} et E2={0}xR,
- C'est quoi B(0,1)
- C'est quoi p(B(0,1)) ? (où p = projection sur E1 parallèlement à E2)
- C'est quoi q(B(0,1)) ? (où q = projection sur E2 parallèlement à E1)
- C'est quoi p(B(0,1)) + q(B(0,1)) ?
- Conclusion

[checkmaths]

(je sais pas si c bon...)
Conclusion : (je pense que tu veux qu'on arrive à cette conclusion mais je sais pas cmt on y arrive ?)
Mais du coup pq on peut écrire cette égalité ?

Pcq

Mais bon, sur le principe, ça marche quand même vu que toutes les normes sur un e.v. de dim. fini sont équivalentes et que le résultat à démontrer ne dépend pas de la norme choisie

[aviateur]

Merci @ben314 pour ta remarque. La norme choisie dans E étant
où avec les normes ds étant quelconques.
Sinon on peut choisir des boules ouvertes de centre 0 avec un rayon plus petit et incluses dans les projections de la boule de sorte que est encore inclus ds

[checkmaths]

Donc si j'ai bien compris aviateur ton raisonnement

est un ouvert et donc il existe une boule ouverte de centre et de rayon incluse dans . On a évidement où
est la boule ouverte de centre , la projection sur parallèlement à et la projection sur parallèlement à .
On a donc bien

marche si on considère ta norme

La norme choisie dans E étant où avec les normes ds étant quelconques.

?

S'il marche, est-ce que ton c'est bien et ton c'est bien ?

Si c'est le cas, pouvez-vous aussi m'expliquer pq cela justifie que et sont bien dans et , respectivement ? (pcq je sais bien que et que , mais je ne vois pas du tout pq et ...)

[aviateur]

Oui c'est cela. p est une projection sur donc est bien dans

Maintenant on peut éviter tout cela avec une norme standard telle que la norme 2. Mais on n'a pas les égalités que j'ai données et qui ne sont pas nécéssaires.

[checkmaths]

Ok merci, donc il ne reste plus qu'à montrer que et contiennent une boule de centre , mais est-ce que les projections sont bien des isomorphismes ?
Si oui ce serait vraiment cool, pcq on pourrait utiliser le TIL (th d'inv° locale) puisque, par linéarité de , serait aussi un isomorphisme de dans , idem pour mais dans . Du coup, le TIL affirmerait que car est linéaire donc . Idem pour . CQFD (si les projections sont des isomorphismes).

[aviateur]

Bonjour, là je ne comprends pas ta démarche. (je suppose qu'ici on a pris une norme qcq dans E)
De toute façon p n'est pas un isomorphisme (et de quoi vers quoi?) .

Par contre est un convexe et p est continue donc est un convexe inclus dans qui contient 0. Il est facile de voir que 0 est dans l'intérieur de p(B(0,r)) donc on peut prendre
égale une boule de , ouverte de centre 0 de rayon , idem avec i=2.

Pour terminer il faut s'assurer que reste dans
ce qui est le cas quitte à remplacer par des valeurs plus petites.

[aviateur]

Maintenant on peut simplement penser à prendre avec assez petit pour que tout soit OK

[checkmaths]

Dans un autre forum, on me propose ceci :

J'imagine que est ouvert. Dans ce cas, il s'agit juste d'appliquer l'inégalité triangulaire : Soit tel que . Pose et .

Un peu dans le genre de ton dernier message. Mais je ne vois pas du tout où et comment on utilise une inégalité triangulaire...

[aviateur]

justement pour que \Omega_1+\Omega_2 reste dans la boule B_0(0,r)

Si u_1\in \Omega_1 et u_2\in \Omega_2 on a u=u_1+u_2

donc norme de u<= norme de u_1+ norme de u_2 <=r_1+r_2 (inégalité triangulaire)
donc pour que u reste dans la boule il faut que r_1+r_2<=r