Dimension d'une différentielles, sous-variétés lisses

[acoustica]

Bonjour,

Petite question : j'ai un problème sur la notion de rang d'une différentielle. J'aurais été tenté de penser que c'est le rang de la jacobienne, mais voilà que je tombe sur les énoncés suivants :

"Les cercles de R² sont des sous-variétés lisses de dimension 1".

En effet, je vois bien que si on calcule les dérivées partielles, elle ne s'annulent qu'en le centre du cercle, c'est-à-dire jamais sur le cercle s'il est de rayon non nul. Mais là déjà, en écrivant la jacobienne, pour moi elle est de rang 2, pas de rang 1.

Ensuite je lis :

"Les sphères de sont des sous-variétés lisses de de dimension 2."

Là pareil, je ne vois pas pourquoi la différentielle est de rang 1. "Pour moi", elle est de rang 3. Est-ce que la notion de rang est liée au nombre d'équations à écrire ?

Plus généralement :

" Le graph d'une fonction f de U de dans de classe sur un ouvert U de , cad l'ensemble (x,y) des points de tels que y=f(x) est une sous-variété lisse de de dimension k, puisque les solutions de F(x,y)=0 avec F : est l'application définie par F(x,y)=y-f(x)"


Quelques éclaircissements ?
Merci beaucoup ! :we:

[Doraki]

Une variété de dimension k, c'est un collage d'ouverts de R^k.
Par exemple le cercle, en soi, c'est le recollement de deux ouverts de R^1. Tu prends ]0;3[ et ]4;7[, et tu identifies ]2;3[ à ]4;6[ et ]0;1[ à ]6;7[. Ca donne un cercle.
Une variété de dimension 1 c'est un truc qui ressemble à une ligne, une de dimension 2 c'est un truc qui ressemble à une surface, etc.

Ensuite tu as les sous-variétés de R^n. C'est les variétés qu'on peut se représenter dans R^n, comme le cercle qu'on peut représenter comme {(x,y) / x²+y² = 1}.
Si tu as une fonction f de R^n dans R^(n-k), f-1({0}^(n-k)) est une sous-variété lisse de dimension k pourvu que f ait de bonnes propriétés (que le rang de df soit partout le maximum possible, à savoir n-k)

Pour le cas de la sphère, f(x,y,z) = x²+y²+z²-1, c'est une application de R^3 dans R^1,
et df(x,y,z)(dx,dy,dz) = 2xdx + 2ydy + 2zdz, donc df(x,y,z) est représenté par la matrice (2x, 2y, 2z), qui est de rang 1 pour tout (x,y,z) dans la sphère. Donc la sphère est lisse de dimension 3-1 = 2.

[acoustica]

Une variété de dimension k, c'est un collage d'ouverts de R^k.
Par exemple le cercle, en soi, c'est le recollement de deux ouverts de R^1. Tu prends ]0;3[ et ]4;7[, et tu identifies ]2;3[ à ]4;6[ et ]0;1[ à ]6;7[. Ca donne un cercle.
Une variété de dimension 1 c'est un truc qui ressemble à une ligne, une de dimension 2 c'est un truc qui ressemble à une surface, etc.

Ensuite tu as les sous-variétés de R^n. C'est les variétés qu'on peut se représenter dans R^n, comme le cercle qu'on peut représenter comme {(x,y) / x²+y² = 1}.
Si tu as une fonction f de R^n dans R^(n-k), f-1({0}^(n-k)) est une sous-variété lisse de dimension k pourvu que f ait de bonnes propriétés (que le rang de df soit partout le maximum possible, à savoir n-k)

Pour le cas de la sphère, f(x,y,z) = x²+y²+z²-1, c'est une application de R^3 dans R^1,
et df(x,y,z)(dx,dy,dz) = 2xdx + 2ydy + 2zdz, donc df(x,y,z) est représenté par la matrice (2x, 2y, 2z), qui est de rang 1 pour tout (x,y,z) dans la sphère. Donc la sphère est lisse de dimension 3-1 = 2.

Waw, super, je comprends mieux ! Merci Doraki ! :id:

[acoustica]

Edit : J'ai encore une question. J'ai trouvé deux définitions différentes d'une sous-variété. L'une précise "sous-variété lisse" et l'autre juste "sous-variété", mais le mot lisse n'apparaissant nulle part ailleurs dans l'ouvrage (enfin en tout cas nulle part dans le chapitre et dans l'index), j'ai pensé que c'était juste une appellation différente. A première vue, les deux définitions me semblent équivalentes : je ne vois pas comment une sous-variété pourrait ne pas être lisse si on parle de difféomorphisme. Toutefois, je voulais être bien sûr. Voici les deux définitions :

Définition d'une sous-variété comme solution d'une équation : Un ensemble X d'un espace vectoriel normé Rn est une sous-variété lisse de Rn de dimension k si pour tout a de X, il existe un ouvert U de Rn contenant a et une application F : U Rn-k continûment différentiable telle que l'intersection de X et de U soit l'ensemble des solutions de F(x)=0 et telle que rg(DaF)=n-k.

Définition d'une sous-variété lisse comme image d'une fonction : Soit n un entier naturel non nul et k dans. Une sous-variété de Rn, de classe Ck et de dimension d dans {0,...,n} est une partie S de Rn telle que pour tout point a de S, il existe un voisinage ouvert U de a dans Rn et un difféomorphisme de classe Ck de U sur la boule Bn(0,1) qui vérifient : (a)=0 et (US)={B(0,1)}, oùest le sous espace vectoriel de Rn, défini par la restriction aux k premières coordonnées. On dit alors que le couple (U,;)) est un changement de variables adapté à S au point a.

Des deux définitions sont-elles équivalentes ?

[Doraki]

La première m'a l'air moins restrictive que la deuxième, mais je suis pas certain qu'elles soient vraiment différentes. Si dans la première le rang de dF est de rang n-d sur tout U, je pense qu'on peut trouver une fonction ;) qui y corresponde et donc que les deux définitions sont équivalentes.

Comme le rang est à moitié continu, le seul problème serait si ta variété est pile sur les points où dF est accidentellement de rang plus petit que le rang de dF tout autour de la variété. J'ai pas cherché si une telle chose est possible et si ça ferait vraiment une différence.

Les deux sont probablement équivalentes.

[acoustica]

La première m'a l'air moins restrictive que la deuxième, mais je suis pas certain qu'elles soient vraiment différentes. Si dans la première le rang de dF est de rang n-d sur tout U, je pense qu'on peut trouver une fonction qui y corresponde et donc que les deux définitions sont équivalentes.

Comme le rang est à moitié continu, le seul problème serait si ta variété est pile sur les points où dF est accidentellement de rang plus petit que le rang de dF tout autour de la variété. J'ai pas cherché si une telle chose est possible et si ça ferait vraiment une différence.

Les deux sont probablement équivalentes.

D'accord, merci encore Doraki. J'ai un peu du mal pour l'instant, mais je vais pour l'instant me focaliser sur une seule définition... Merci encore et bonne journée à toi !