[MPSI] Sous groupes distingués

[Euler07]

Bonjour

Dans un exercice qui s'est terminé par la phrase : " Les lecteurs initiés pourront remarqués que l'on vient de montrer que ce groupe est distingué "

J'ai donc fait des recherche sur ce terme. Pour mes questions, je prends G un groupe et H le sous groupe distingué de G

1) H peut il être abélien sans que G le soit ?

2) aH = aH pour la définition de sous groupe distingué, cela veut il dire que H est abélien ?

3) aHa-1 = H pour la définition de sous groupe distingué, pourtant dans mon exo en faisant ce calcul j obtenais un élément de H mais qui n'était pas égale à H. Donc a ton soit aHa-1 = H ou aHa-1 c H (inclu)

4) A quoi cela sert il en algèbre ?

:livre:

[ev85]

Bonjour

Dans un exercice qui s'est terminé par la phrase : " Les lecteurs initiés pourront remarqués que l'on vient de montrer que ce groupe est distingué "

J'ai donc fait des recherche sur ce terme. Pour mes questions, je prends G un groupe et H le sous groupe distingué de G

1) H peut il être abélien sans que G le soit ?

2) aH = aH pour la définition de sous groupe distingué, cela veut il dire que H est abélien ?

3) aHa-1 = H pour la définition de sous groupe distingué, pourtant dans mon exo en faisant ce calcul j obtenais un élément de H mais qui n'était pas égale à H. Donc a ton soit aHa-1 = H ou aHa-1 c H (inclu)

4) A quoi cela sert il en algèbre ?

:livre:

1) Oui. Par exemple si H est le centre de G non abélien. Tous les noyaux d'homomorphismes sopnt distingués.

2) Non, cela veut dire que l'image de H par la translation à droite par a est aussi l'image de H par la translation à gauche par a .

4) C'est un concept central en théorie de Galois.

amicalement,

e.v.

[ffpower]

Bonjour

Dans un exercice qui s'est terminé par la phrase : " Les lecteurs initiés pourront remarqués que l'on vient de montrer que ce groupe est distingué "

J'ai donc fait des recherche sur ce terme. Pour mes questions, je prends G un groupe et H le sous groupe distingué de G

1) H peut il être abélien sans que G le soit ?

2) aH = aH pour la définition de sous groupe distingué, cela veut il dire que H est abélien ?

3) aHa-1 = H pour la définition de sous groupe distingué, pourtant dans mon exo en faisant ce calcul j obtenais un élément de H mais qui n'était pas égale à H. Donc a ton soit aHa-1 = H ou aHa-1 c H (inclu)

4) A quoi cela sert il en algèbre ?

:livre:

1)Oui

2)Non (et c'est aH=Ha)

3)aHa^{-1}=H est une égalité entre 2 ensembles, à savoir {aha^{-1} |h dans H}=H. Ca ne signifie pas que pour tout h dans H, aha^{-1}=h

4)Essentiellement à pouvoir faire des raisonnements "modulo H". On dit que a=b modulo H si ab^{-1} appartient à H. Quand H est distingué, on a la propriété
a=b mod H et c=d mod H => ac=bd mod H
et on peut donc faire des opérations modulo H, à l'instar de ce qu'on fait avec les entiers modulo n

[Manny06]

Bonjour

Dans un exercice qui s'est terminé par la phrase : " Les lecteurs initiés pourront remarqués que l'on vient de montrer que ce groupe est distingué "

J'ai donc fait des recherche sur ce terme. Pour mes questions, je prends G un groupe et H le sous groupe distingué de G

1) H peut il être abélien sans que G le soit ?

2) aH = aH pour la définition de sous groupe distingué, cela veut il dire que H est abélien ?

3) aHa-1 = H pour la définition de sous groupe distingué, pourtant dans mon exo en faisant ce calcul j obtenais un élément de H mais qui n'était pas égale à H. Donc a ton soit aHa-1 = H ou aHa-1 c H (inclu)

4) A quoi cela sert il en algèbre ?

:livre:

par ex pour 1) dans le groupe des deplacements du plan (non abélien) les translations forment un sous groupe distingué
d'ailleurs dans un groupe abélien tout sous groupe est distingué

[Euler07]

Merci à vous trois

1) 4) D'accord

2) 3) Avec un exemple je comprendrais toute suite parce que là j'ai du mal à suivre. Déjà pour aH = Ha pour moi on prend un élément a de G ou H déjà ? puis on le compose par H, mais H s'explicite comment ?

L'exo prenait (G,o) avec a,b de R tels que fa,b= ax+b et (H,o) tel que f1,d = x+d

:livre:

[Manny06]

Merci à vous trois

1) 4) D'accord

2) 3) Avec un exemple je comprendrais toute suite parce que là j'ai du mal à suivre. Déjà pour aH = Ha pour moi on prend un élément a de G ou H déjà ? puis on le compose par H, mais H s'explicite comment ?

L'exo prenait (G,o) avec a,b de R tels que fa,b= ax+b et (H,o) tel que f1,d = x+d

:livre:

il faut montrer que tout elément fa,bof1,d peut s'écrire f1,d'ofa,b
le premier transforme x en ax+ad+b
le second transforme x en ax+b+d'
donc d'=ad

[Euler07]

il faut montrer que tout elément fa,bof1,d peut s'écrire f1,d'ofa,b
le premier transforme x en ax+ad+b
le second transforme x en ax+b+d'
donc d'=ad

Merci Manny06 j'ai tout compris :we:

:livre:

[Manny06]

Merci Manny06 j'ai tout compris :we:

:livre:

bravo c'est très bien