Sous groupe distingué

[The Void]

Bonjour, je veux résoudre l'exercice suivant: montrer que si p est le plus petit facteur premier de |G| et H un sous groupe d'indice p alors H est distingué.
Pour cela je fais opérer G sur G/H, par g.(aH)=(ga)H, j'appelle f le morphisme associé.
clairement, ker f est inclu dans H (f(g)(H)=H il existe h, h',), et ker f est distingué.
Im f est un sous groupe de G/H donc |Im f| | p et l'égalité |Im f| = p.
D'où |ker f| = |G|/|Im f| = |H|, H = ker f est distingué.

Problème: je ne me sert pas de l'hypothèse "p est le plus petit facteur premier de |G|".
Voyez vous une erreur dans ma démonstration?

[Nightmare]

salut!

considère l'intersection de tous les conjugués de ton sous groupe et montre qu'elle est d'indice p

[abcd22]

Bonsoir,

clairement, ker f est inclu dans H (f(g)(H)=H il existe h, h',)

f(g)(H) = H n'est pas suffisant pour avoir , il faut , et on trouve Ker f = l'intersection des conjugués de H, donc ce n'est pas évident que c'est inclus dans H puisque c'est ce qu'il faut montrer.

[The Void]

Bonsoir,

f(g)(H) = H n'est pas suffisant pour avoir , il faut , et on trouve Ker f = l'intersection des conjugués de H, donc ce n'est pas évident que c'est inclus dans H puisque c'est ce qu'il faut montrer.

Pas suffisant mais nécessaire?
=> f(g)(H) = gH = H, et comme ,
Donc on a bien Ker f inclu dans H?

[The Void]

salut!

considère l'intersection de tous les conjugués de ton sous groupe et montre qu'elle est d'indice p

En fait Ker f = et je pense que j'ai démontré que ker f est d'indice p (en utilisant |ker f| |im f| = |G|) mais je ne me sert pas de toutes les hypothèses de l'exo...

[abcd22]

Pas suffisant mais nécessaire?
=> f(g)(H) = gH = H, et comme ,
Donc on a bien Ker f inclu dans H?

Ah oui, je devrais pas poster si tard...
L'erreur que tu as faite est plus loin :

Im f est un sous groupe de G/H

f est un morphisme de G dans le groupe des permutations de G/H, pas de G dans G/H, et G/H est seulement un ensemble a priori, tant qu'on ne sait pas que H est distingué on ne peut pas lui mettre une structure de groupe.

[The Void]

Ah oui merci!
En fait Im f est un sous groupe de l'ensemble des permutations de G/H, donc |Im f| | p!, et le but serait de montrer |Im f| = p.
Soit q un diviseur premier de |Im f|, q|p! donc q<=p et q | |Im f| | |G| (toujours |ker f| |im f| = |G|) et q = p car p est le plus petit ( :happy2: ) diviseur premier de |G| ).
donc |im f|=p, |ker f| = |H|, H = ker f est distingué.
Par contre je me suis servi d'une indication de l'exo, je ne vois pas comment "intuiter" que H est l'intersection des conjugués de H...