Sous groupe distingué

[MC91]

Bonjour,

J'aurai encore besoin de votre aide pour un exercice.

Soit G un groupe de cardinal n, H sous groupe de G de cardinal m, avec m=n/2.
On me demande de montrer que H est un sous groupe distingué.

J'ai commencé à faire quelques calculs avec les cardinaux, je trouve que l'indice de G dans H est 2.
Après je ne vois pas trop comment faire pour démontrer qu'un sous groupe d'indice 2 est distingué...

Merci pour vos réponses.

[adrien69]

Salut, si g est dans G\H, comment peux-tu écrire G en fonction de g et de H ?

[MC91]

Salut, si g est dans G\H, comment peux-tu écrire G en fonction de g et de H ?

Je ne suis pas sûre de savoir ce qu'est G\H.

Je sais que G/H c'est l'ensemble quotient de G par la relation d'equivalence RH, c'est à dire pour tout x, y dans G, x*y^-1 est dans H. Donc la classe d'equivalence de y modulo H est Hy.

Donc G\H serait l'ensemble quotient tel que y^-1*x est dans H, donc la classe d'equivalence de y modulo H est yH?

Donc dans ton exemple, la classe d'équivalence de g serait gH?

[adrien69]

Ah non c'est tout con G\H c'est G privé de H ^^
En fait ce que je veux que tu me dises c'est que G=HunionF, et que F=gH
Est-ce que tu vois pourquoi ?

[MC91]

Ah non c'est tout con G\H c'est G privé de H ^^
En fait ce que je veux que tu me dises c'est que G=HunionF, et que F=gH
Est-ce que tu vois pourquoi ?

Ah d'accord, je me suis un peu compliqué la vie ! :we:
Ca voudrait dire que G\H=gH ?
Je vois pas trop pourquoi...

[adrien69]

Ah d'accord, je me suis un peu compliqué la vie ! :we:
Ca voudrait dire que G\H=gH ?
Je vois pas trop pourquoi...

Voilà c'est ça le truc, pourquoi ?
En fait ce n'est pas bien compliqué
Pour tout g dans G\H, gH est différent de H (car g*e n'est pas dans H), et comme on a des classes à gauche, donc une relation d'équivalence, donc une partition, on a l'intersection de gH et de H qui est vide, or l'indice de H est deux, donc si k et g ne sont pas dans H, kH et gH sont les mêmes ensembles, ce qui veut dire que G\H est inclus dans gH, réciproquement, gH et H sont disjoints, donc gH est inclus dans G\H.

Donc gH=G\H

Tu devrais pouvoir trouver la fin du raisonnement seul normalement.