Sous espace propre

[ilikoko123]

salut :)
si un endomorphisme de E n'admet qu'un seul sous espace propre, je peux dire qu'il n'est pas diagonalisable ?

[ilikoko123]

ce sous espace propre est de dimension 1 et dim E>1

[MouLou]

ce sous espace propre est de dimension 1 et dim E>1

Si tu connais la diagonalisabilité en terme de sous espaces propres t peux facilement répondre toi meme! Tu as raison oui

[Robot]

Un endomorphisme u de E est diagonalisable si et seulement si E est somme directe des sous-espaces propres de u. Par conséquent ...

[ilikoko123]

Si tu connais la diagonalisabilité en terme de sous espaces propres t peux facilement répondre toi meme! Tu as raison oui

on vient de commencer le cours ,je patauge encore

[ilikoko123]

j'arrive à le faire merci à tous

[mathelot]

un endomorphisme est diagonalisable
si son polynôme minimal (annulateur de u)
est scindé et ses racines sont simples.

[ilikoko123]

un endomorphisme est diagonalisable
si son polynôme minimal (annulateur de u)
est scindé et ses racines sont simples.

je pense qu'on a pas besoin de les avoir simples :doute:

[mathelot]

c'est le polynôme minimal pas le polynôme caractéristique.

[ilikoko123]

pouvez vous m'expliquer d'avantage s'il vous plait :triste: une ptite démo de cela !

[mathelot]

soit E de dimension finie n et u un endomorphisme.

Comme l'ensemble des matrices nxn est de dimensions n^2
n^2+1 endomorphisme

sont liés

l'ensemble des polynômes annulateurs de u est non vide.
c'est un idéal pour les lois
le polynome minimal est le polynôme, noté , non nul de plus petit degré (sauf d0=-\infty)
qui annule u.

si u est diagonalisable est scindé et de racines simples.
je ne saurai pas dire pourquoi.

[MouLou]

soit E de dimension finie n et u un endomorphisme.

Comme l'ensemble des matrices nxn est de dimensions n^2
n^2+1 endomorphisme

sont liés

l'ensemble des polynômes annulateurs de u est non vide.
c'est un idéal pour les lois
le polynome minimal est le polynôme, noté , non nul de plus petit degré (sauf d0=-\infty)
qui annule u.

si u est diagonalisable est scindé et de racines simples.
je ne saurai pas dire pourquoi.

Si u est diagonalisable, on note ses valeurs propres, alors il est facile de voir que est annulateur de u. et c'est même le minimal, car le minimal divise forcément P, et n'importe quel diviseur stricte de P n'annule pas u. En effet on n'a qu'à regarder par exemple alors un vecteur propre pour ne sera pas annulé par Q(u). Donc ca nous dit que P est le polynome minimal de u.

Pour la réciproque, si tu connais le lemme des noyaux alors c'est plié, sinon je me souviens plus trop