Sous espace de Mn(C) engendré par un sous-groupe de GLn(C)

[chelsea-asm]

Bonjour,

Je suis sur un exercice qui commence à se corser et aucun de mes amis n'a réussi à le résoudre actuellement ^^ !

Tout d'abord, je ne sais pas si c'est utile pour cette question, mais on sait que une matrice
est nilpotente si et seulement si

Ensuite :
désigne un sous-groupe de pour lequel il existe un entier vérifiant :

E désigne le sous-espace de engendré par la partie G.

Question :
Montrer qu'il existe un entier et une famille d'éléments de G tels que est une base de .

J'ai commencé par poser les bases, puis j'ai fait quelques réflexions :
Bases :

On doit trouver que et que la famille est libre donc :

Il existe tels que



Idées :

1.
Est-ce nécessaire de le remarquer ?

2. Soit . puisque
Peut-être que le que l'on doit trouver dépend de ces ?

Après je n'ai plus d'idées. Pourriez-vous me guider un peu s'il vous plaît ?

Merci de m'avoir lu jusqu'au bout, et merci pour votre aide.

[chelsea-asm]

Personne n'a d'idée ?

[Nightmare]

Salut,

On demande juste à montrer que E admet une base constituée d'éléments de G, mais G est une partie génératrice dont on peut alors extraire des vecteurs jusqu'à obtenir une base.

[chelsea-asm]

Bonjour Nightmare, et bonne année

Merci pour ta réponse, j'ai revu une démonstration de sup pour me remettre les idées au clair et j'ai trouvé ça :

Si E est un espace vectoriel de dimension finie, et une famille génératrice de E, on peut extraire de G une base de E.
En effet soit L l'ensemble des familles libres de E contenues dans G.
Soit B dans L, où B est une famille libre "maximale" (ou de cardinal maximal).

avec

Soit
est liée car B est une famille libre maximale.
Donc il existe non tous nuls tels que :



De plus, (sinon ils tous les seraient nuls)

Ainsi est une combinaison linéaire de B.



Donc B est une famille génératrice de E.
Comme c'est aussi une famille libre c'est donc une base.

Il suffit de faire quasiment la même chose pour ma question ? En remplaçant les lettres ?
Je dois donc supposer que est une famille libre de E contenue dans G, de cardinal maximal etc... ?