Sous groupe engendré par un élément.
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Aldebaran
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par Aldebaran » 18 Aoû 2005, 17:22
Bonjour à tous ! (heureusement que vous êtes là en ce moment...)
J'ai un petit souci dans la compréhension d'un cours (encore une fois d'algèbre pour ceux qui me connaissent !).
Voilà :
Soit
)
un groupe, de neutre
. Soit
un élément de
.
Il est clair que l'application
définie par
=a^m)
est un morphisme de
)
dans
, ( en effet
 \in Z^2, f(m+n)=a^{m+n}=a^m \ast a^n=f(m) \ast f(n))
), et l'image de
n'est autre que le sous-groupe
)
de
engendré par
.
Là où je ne pige plus, c'est quand on dit qu'il existe un unique entier naturel 
tel que  = nZ)
.Quelqu'un pourrait-il bien m'expliquer ce que veut dire cette proposition ?
(je tiens à préciser que j'ai déjà plus ou moins compris cette notion de noyau dans un groupe)...
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RadarX
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par RadarX » 18 Aoû 2005, 17:32
Le ker d'un morphisme f: G -----> H de groupes est un sous groupe de G. C'est relativement facile a verifier.
Donc pour le cas ou G = Z, ker f est un sous groupe de Z; or on sait que les sous groupes de Z sont les ensembles de la forme nZ n>=0. Donc kerf est de la forme nZ! c'est tout.
Par contre si tu n'es pas convaincu qu'un sous groupe de Z est de la forme nZ, tu auras la peuvre dans toute litterature sur les groupes et on y utilise la divison euclidienne dans Z.
RadarX.
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Aldebaran
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par Aldebaran » 19 Aoû 2005, 10:21
:we: Merci RadarX, c'était pourtant si simple... :we:
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