Sous groupe engendré par un cycle et une permtutation

[CC_]

Bonjour,

Je vous présente l'énoncé suivant :
Dans le groupe , on considère le sous-groupe H engendré par la transposition et le 4-cycle .
a) Montrer qu'une permutation de {1,2,3,4} appartient à H si et seulement si elle envoie la paire {1,3} sur elle-même ou son complémentaire.
b) Quel est le nombre d'éléments de H?

Il serait facile de résoudre cet exo "à contre-esprit", c'est à dire en listant les 8 éléments de H, puis de répondre à la question a) ensuite en vérifiant "au cas par cas", pour ainsi dire.
Je serais à l recherche d'une méthode plus génrale et plus jolie, plus dans l'esprit de l'exo, plus rigoureuse, et qui pourrait marcher dans des groupes plus grands que . Par exemple, une formule générale pour la b) ou une méthode jolie pour l'implication réciproque du a).

De plus, j'ai "repéré" quelque chose d'amusant : . Et de plus, chaque composé de est égal à son inverse. C'est assez intéressant, mais dans les deux cas je ne sais pas comment le démontrer...

Auriez-vous des petites idées à me soumettre?..
Merci!