Somme trigonométrique

[acoustica]

Bonjour à tous,
J'ai un problème pour résoudre cet exercice:
Simplifier:

J'ai remarqué que comme , on pouvait regrouper les termes deux par deux et appliquer la formule:
, mais ça ne mène pas à grand chose.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plait? :help:

[abcd22]

Bonjour,
À mon avis il faut plutôt remarquer que la somme est la partie réelle d'une somme de complexes qu'on peut simplifier.

[acoustica]

Tu veux dire celle-là:
?
Oui, je vais essayer. :happy2:

[magnolia86]

Oui, ça fait penser à

[math rayon]

j'ai oublier mais peut etre elle a une relation avec la formule de newton

(a+b)^n = ...................

[acoustica]

j'ai oublier mais peut etre elle a une relation avec la formule de newton

(a+b)^n = ...................

J'en doute: ça me semble difficile d'exprimer chaquer cosinus comme un exposant. J'ai pas encore réussi pour la méthode de la partie réelle mais je pense que c'est la meilleure méthode (d'autant que maintenant, j'ai un vague souvenir d'avoir déjà fait quelque chose dans ce goût là). Même si je ne me souvient plus de comment on fait. :hum:

[xyz1975]

J'en doute: ça me semble difficile d'exprimer chaquer cosinus comme un exposant.

Regardez le message de magnolia86, c'est la répense à la question posée.

[nuage]

Salut,

Tu veux dire celle-là:
?
Oui, je vais essayer. :happy2:

je pense que c'est une faute de frappe, mais me semble plus adapté.

[acoustica]

Quelqu'un m'a demandé de ré-expliquer le contenu de ce message, c'est pourquoi je le modifie.

Salut,

je pense que c'est une faute de frappe, mais me semble plus adapté.

Tout à fait.

Regardez le message de magnolia86, c'est la répense à la question posée.

Ah mais oui! On met ça sous la forme du binôme de Newton, que j'ai eu le tord de bouder, et on prend la partie réelle:



C'est le développement de (a+b)^n, avec a=e^(ib) et b=1.



On a juste écrit e^(ib)=cos(b) + i*sin(b)

On se ramène donc au calcul de , avec m+ip=z

Il faut noter que cos(theta)+i sin(theta) a un module égal à 1.




avec car l'argument de a+ib est arctan (a/b). On s'en aperçoit en faisant un dessin.


(avec ici et )

merci à vous tous :we:

[abcd22]

... (cas particulier de la technique utilisée pour trouver les formules pour cos p + cos q, cos p - cos q, sin p + sin q).

[acoustica]

... (cas particulier de la technique utilisée pour trouver les formules pour cos p + cos q, cos p - cos q, sin p + sin q).

ah voui. C'est plus radical. :zen:

[acoustica]

Désolé, mais j'ai encore un problème pour un exo du même type (promis, après j'arrête!):

Simplifier

J'ai essayé avec la formule mais bon, ça complique drôlement plus l'affaire.
Et là, je ne vois pas comment l'identifier à une identité du type binôme de Newton.

[abcd22]

La somme est la partie réelle de …

[acoustica]

La somme est la partie réelle de …

Donc on se ramène à chercher la partie réelle d'un truc du type ce qui revient à un truc du type ce qui est tout à fait faisable.
ok ok, danke!

( Remarque au passage: dans ce type d'exo, les calculs peuvent vite devenir barbares si on ne fait pas de changements de variables :briques: )

[acoustica]

Ca fait si je ne me trompe pas.

[abcd22]

Donc on se ramène à chercher la partie réelle d'un truc du type ce qui revient à un truc du type ce qui est tout à fait faisable.

On peut réutiliser la factorisation par e^(ia/2) et e^(ib/2) au numérateur et au dénominateur + formules d'Euler pour se ramener au produit d'un nombre réel et d'une exponentielle complexe.

Edit: ah bah non, j'avais oublié le cos au dénominateur de la raison.