Bonjour,
J'aimerais savoir comment calculer la somme de 1 à l'infini de 1 / ((n+1)*(2n+1)), je sais que le résultat est 2ln(2) - 1 (Maple) et j'ai essayé d'encadrer le terme général par des intégrales, mais l'encadrement n'est pas suffisant pour conclure...
Des idées?
Somme
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par ThSQ » 16 Juil 2008, 18:10
Just for fun, une autre soluce niveau term (ou presque):
(2k+1)} = \sum_2^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} + \sum_{n+1}^{2n} \frac{2}{2k+1})
Le 1er tend vers ln(2)-1 et le deuxième vers ln(2)
Le 1er tend vers ln(2)-1 et le deuxième vers ln(2)
par The Void » 16 Juil 2008, 18:49
Merci pour vos réponses :)
Par contre, pour la solution proposée par Pythales, comment trouver facilement f'(x) pour l'intégrer?
J'ai essayé de refaire la même méthode (chercher g'(x) avec g(x)=x^(n+1-2n)*f'(x), puis intégrer) mais le problème c'est que l'intégrale n'est pas facile à trouver (de x(1-x^N)/(1-x) ) ...
Par contre, pour la solution proposée par Pythales, comment trouver facilement f'(x) pour l'intégrer?
J'ai essayé de refaire la même méthode (chercher g'(x) avec g(x)=x^(n+1-2n)*f'(x), puis intégrer) mais le problème c'est que l'intégrale n'est pas facile à trouver (de x(1-x^N)/(1-x) ) ...
par Pythales » 16 Juil 2008, 19:12
Après avoir démontré la légitimité des opérations :
On vérifie facilement que=-1-\frac{ln(1-x^2)}{x^2})
et après une intégration par parties facile :
=-x+\frac{ln(1-x)}{x}+\frac{ln(1+x)}{x}+ln(1+x)-ln(1-x))
(La constante d'intégration se détermine par=0)
)
Si
, }{x}-ln(1-x)=\frac{(x-1)ln(1-x)}{x}\to 0)
et le reste tend vers -1)
On vérifie facilement que
et après une intégration par parties facile :
(La constante d'intégration se détermine par
Si
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