Somme

[cocoflmt]

Bonjour,
J’ai un devoir à rendre et depuis quelques jours je bloque totalement sur cet exercice.

Soit n e N*, Vérifier que :
∑(avec k allant de 1 à n) k2^k = ∑(k allant de 1 à n) ∑(allant de l=1 à k) 2^k

En déduire la valeur de la somme.

Je bloque totalement, j’ai essayé de chercher avec mes formules du cours (reconnaître une suite géométrique, changement d’indice...) mais je ne trouve aucun raisonnement qui aboutisse.

Merci beaucoup,

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

As-tu pensé à intervertir les deux sommations ( celle sur et celle sur ) ?

[cocoflmt]

Bonjour,

As-tu pensé à intervertir les deux sommations ( celle sur et celle sur ) ?

J’ai justifié la première question en expliquant que 2^k était indépendant de l, et donc qu’on trouvait ∑(k-1+1).2^k et donc ∑2^k

Pour la suite, j’ai essayé en utilisant la formule de la somme géométrique combinée à la somme triangulaire. Je trouve en résultat (n-1)^(2n+1)+2

[GaBuZoMeu]

Ta formule ne marche pas pour n=2 (toujours penser à vérifier sur des petits entiers quand on pense avoir trouvé une expression de la somme).
Je renouvelle ma suggestion : intervertir les sommations pour faire :
somme pour l allant de 1 à n de somme pour k allant de ? à ? ....

[cocoflmt]

Ta formule ne marche pas pour n=2 (toujours penser à vérifier sur des petits entiers quand on pense avoir trouvé une expression de la somme).
Je renouvelle ma suggestion : intervertir les sommations pour faire :
somme pour l allant de 1 à n de somme pour k allant de ? à ? ....

Bonsoir,
Je ne comprends pas comment faire pour intervenir les sommations et les indices comme vous le dites,
Merci

[GaBuZoMeu]

On fait la somme sur tous les couples avec .
Imagine un tableau avec comme indice de ligne et comme indice de colonne, en mettant dans chaque case avec .
La somme qui est écrite est une somme par ligne (on fixe d'abord ).
On obtient le même résultat en faisant une somme par colonne (on fixe d'abord )