Somme

[pluie2]

Bonjour :

Je dois calculer la somme S1= Somme des k=0 jusqu'à n pour k pair ne (k parmi n)2k puis S2= la même somme que S1 pour les k impairs.
Je dois d'abord calculer S1+S2 puis S1-S2 et donc ensuite grâce à un système, trouver S1 et S2.
Cependant, ce sont les pairs et impairs qui me gènent pour écrire les relations de Newton.

Pouvez vous m'expliquer ? merci

[messinmaisoui]

Hello pluie2
Qu'est ce que cela veut dire "...ne (k parmi n)2k ..." :doh:

[pluie2]

Hello pluie2
Qu'est ce que cela veut dire "...ne (k parmi n)2k ..." :doh:

les (k parmi n) * 2k

[Ben314]

Le calcul de S1+S2 ne demande pas de savoir distinguer les pairs des impairs vu... qu'on ajoute tout le monde...

Pour le calcul de S1-S2, une "indication" :
pour distinguer k pair de k impair, il suffit de calculer (-1)^k qui vaut +1 si k est pair et -1 s'il est impair.

[pluie2]

oui je suis d'accord mais justement si je veux écrire S1 et S2 avec newton (a+b)^n comment je fais ici ?

[Ben314]

Dans le binôme de newton, il apparait des a^k.b^(n-k) derrière les coeff. binomiaux.
Dans le cas de S1+S2, tu voudrait que tout ces a^k.b^(n-k) valent 1 pour avoir la somme sans coeff. : il y a une solution simple a=... ; b= ...
Dans le cas de S1-S2, tu voudrait que les a^k.b^(n-k) valent 1 ou -1 selon que k est par ou impair : c'est à peine plus compliqué a=... ; b=...

P.S. Non, en fait, c'est un peu plus compliqué que ce que je pensait (j'avais pas fait gaffe au 2k

[pluie2]

a=1=b
a=1 et b=-1

[Ben314]

Oui, mais en fait c'est un peu plus compliqué que ce que je pensait à cause du 2k devant le coeff binomial.

N'empèche que ça permet quand même d'écrire que



Maintenant, le problème, c'est d'arriver à enlever le "2k" (voire juste le k vu que le 2 on peut le faire passer devant le sigma).
As tu déjà rencontré ce type de sommes ? (Il y a au moins 2 méthodes pour s'en sortir)

[pluie2]

d'accord mais juste une précision :

quand vous écrivez S1+S2 ça donne un résultat pair non ? pourquoi ? et pour quoi S1-S2 donne un impair? ça rejoint à ce que vous m'avez expliquez dans le message précédent mais j'ai du mal à comprendre pourquoi...

autrement :

si je soustrais les deux membres ça donne : 2S2=?

[Ben314]

Je comprend pas trop : pourquoi S1-S2 est-il impair ?
Vu les "2k" qu'il y a dans les définitions de S1 et S2, il sont pairs tout les deux (donc leur différence et leur somme est paire...)

[Ben314]

Sinon, les deux méthodes pour calculer
c'est :

Méthode 1 : pour (mais pas pour k=0) on a :

et le "n" n'est pas gênant : dans la somme c'est une constante donc on peut le "sortir" du sigma.

Méthode 2 :

Si je dérive des deux cotés (par rapport à X) puis que je prend X=1, j’obtiens...

Et on fait (quasi) la même chose pour S1-S2.

[pluie2]

ok

Maintenant, le problème, c'est d'arriver à enlever le "2k" (voire juste le k vu que le 2 on peut le faire passer devant le sigma).
As tu déjà rencontré ce type de sommes ? (Il y a au moins 2 méthodes pour s'en sortir)

pour S1+S2, je mets le 2 devant et du coup je trouve comme résultat final : 2n2^(n-1) par contre pour S1-S2 je ne sais pas trop faire

[Ben314]

pour S1+S2, je mets le 2 devant et du coup je trouve comme résultat final : 2n2^(n-1) par contre pour S1-S2 je ne sais pas trop faire

C'est O.K. pour S1+S2.
Comment a-tu fait pour le trouver ? (normalement avec une méthode très semblable tu devrait trouver S1-S2.

[pluie2]

j'ai fait : 0*(0 parmi n) + somme de k=1 à n de k*(k parmi n)= somme de k=1 à n de n*(k-1 parmi n-1)= n * somme de k=1 à n de (k-1 parmi n-1). Changement d'indice j=k-1 donc ça donne : n* somme de j=0 à n-1 de (j parmi n-1)= n(1+1)^(n-1)

oui mais pour S1-S2 je ne sais pas quoi faire du (*1)^k

[Ben314]

j'ai fait : 0*(0 parmi n) + somme de k=1 à n de k*(k parmi n)= somme de k=1 à n de n*(k-1 parmi n-1)= n * somme de k=1 à n de (k-1 parmi n-1). Changement d'indice j=k-1 donc ça donne : n* somme de j=0 à n-1 de (j parmi n-1)= n(1+1)^(n-1)

oui mais pour S1-S2 je ne sais pas quoi faire du (*1)^k

Dans ta preuve, à la fin, tu utilise le fait que "somme de j=0 à n-1 de (j parmi n-1)= (1+1)^(n-1)"
C'est le binôme de newton avec a=b=1.
Et avec a=-1, b=1, ça dit quoi le binôme de newton ? y'aurais pas justement des (-1)^k qui apparaissent ?

[pluie2]

(1+1)^(n-1) * (-1)^n ?

j'avoue que je ne suis pas trop sure

[Ben314]

Binôme de Newton :

Si a=-1 et b=1 ça donne...
si

[pluie2]

ça donne 0^n

[Ben314]

ça donne 0^n

Oui (j'ai ralongé le post entre temps)
Et 0^n, ça fait clairement 0 si n>=1 (pour n=0, c'est pas clair...)

[pluie2]

d'accord donc comment en déduire ensuite S1 et S2 ?