Somme de k^4 et k^5

[Sourire_banane]

Voilà, j'ai un Dm à rendre (je précise que je suis en prépa BCPST). L'un des exercices est le suivant :

1) A l'aide de la formule du binôme de newton, développer (1+x)^5 et (1+x)^6
2) Pour tout n N et tout i 1;5;) on pose : Si=;)(k^i)
(La somme est entre k=0 et n)

a) En calculant de deux façons différentes [(k+1)^5-k^5], déterminer S4.
(toujours entre k=0 et n)

b) a) En calculant de deux façons différentes [(k+1)^6-k^6], déterminer S5.
(toujours entre k=0 et n)


Donc j'ai fais la première question et je trouve :
(1+x)^5=1+5x+10x²+10x^3+5x^4+x^5
(1+x)^6=1+6x+15x²+20x^3+15x^4+6x^5+x^6

J'ai commencé la 2)a) et je trouve que
[(k+1)^5-k^5]=;)(k+1)^5-;)k^5
=;)(1+5k+10k²+10k^3+5k^4+k^5)-;)k^5
=;)1+5;)k+10;)k²+10;)k^3+5;)k^4+;)k^5-;)k^5 par linéarité de
=n-k+1+5*(n(n+1)/2)+10*(n(n+1)(2n+1)/6)+10*(n²(n+1)²)/4+5;)k^4
=(6n+6+15*n(n+1)+20*n(n+1)(2n+1)+30*n²(n+1)²)/12+5;)k^4


Et, par télescopage, [(k+1)^5-k^5]=(n+1)^5

Donc après j'ai dit que :
(6n+6+15*n(n+1)+20*n(n+1)(2n+1)+30*n²(n+1)²)/12+5;)k^4=(n+1)^5
et j'ai tout regroupé pour avoir k^4=quelque chose, mais ça me fait un résultat pas cohérent avec la formule de k^4 que j'ai trouvé sur internet.
Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait super sympa.
Merci d'avance :lol3:

Salut,

Le calcul devient vraiment dégueulasse au début du 2)a) :/
A la troisième ligne, il y a un n-k+1 qui est faux : On devrait juste trouver n+1. Pour le reste, c'est juste. Donc en simplifiant beaucoup, tu devrais trouver le bon résultat.
Je vais jeter un coup d'oeil et te dire comment faire.

[deltab]

Bonjour.

Le calcul pour une valeur particulière de i ne fait pas apparaitre la relation de récurrence sous-jacente.

[deltab]

Bonjour.

Le calcul pour une valeur particulière de i ne fait pas apparaitre la relation de récurrence sous-jacente.

En sommant ces égalités ces égalités pour k=1 à n, on aura pour la somme des premiers membres:

La même somme des seconds membres donnent

On en déduit alors que

car .