Somme directe

[foufa]

salut,

j'ai une question

pour determiner que G=F(+)H est ce il suffit de demontrer que dimG=dimF+dimH
*avec (+) est une somme directe

mercie d'avance

[tize]

Bonjour,
non, c'est d'ailleurs faux. Il faut en plus

[Taupin sur Lyon]

Pour montrer que F(+)G=E !

2 des 3 conditions suivantes suffisent :(mais il en faut au moins 2 )

* F et G ont une intersection réduite au vecteur nul ( et non vide... )
* dim(E)=dim(F)+dim(G)
* E=F+G ie tout vecteur de E se décompose en somme de vect de F et G...

[Nathalie.Roche]

Si G=F+H et si dim(G)=dim(F)+dim(H) alors oui, on a G=F(+)H.

Une formule dite de Grassmann :
dim(F+H)=dim(F)+dim(H)-dim(F inter H)

Avec cette formule, le résultat ci-dessus est clair.

[foufa]

Merci
C’est clair

[Lierre Aeripz]

Pour toutes ces histoires de sommes directes, il n'y a qu'une seule chose à savoir : la définition !

Soit , avec I fini ici, une famille de s.e.v de E.
On considère l'application linéaire . On définit .
On dit que les sont en somme directe si l'application est injective.

A partir de là, le cas de la dimension finie est simple : il suffit d'appliquer le théorème du rang.