Somme directe

[nico2b]

Bonjour, il faut démontrer le théorème suivant :

V = U W


Par définition de la somme directe, on a bien que V = U + W mais je n'arrive pas à prouver U W = {0}

Comme l'intersection se réduit à l'élément nul, on aura bien que v s'écrira de manière unique sous la forme u + w mais je ne suis vraiment pas sur

Merci de votre aide

[aviateurpilot]

mais c'est la definition d'une somme directe. :briques:
je parle de la definition que j'ai vu en mathsup,sauf s'il y a une autre definiton en mathspé.

[aviateurpilot]

=>
U+W=V c'est evident

donc

<=

donc dim(U)+dim(W)=dim(U+W)
et on a U+W=V
donc

[nico2b]

Ok merci beaucoup

[fahr451]

[quote="aviateurpilot"]=>
U+W=V c'est evident

donc

soit x dans W inter U

on a x = x+0 = 0 + x et par unicité de la décomposition on obtient
x = 0
<= soit x dans U+W on le décompose en

x = u +w et en x = u ' +w' on montre l'unicité

on a u-u' = w- w' avec u-u' dans U et w-w' dans W
donc tous les deux dans U inter W donc nuls et

u = u ' , w = w'

[nico2b]

La définition adoptée pour somme directe est bien celle la.

c'est peut-être bête mais j'ai du mal à voir pourquoi u-u' et w-w' sont tous les deux dans U inter W

Merci pour votre aide

[emdro]

Comme u-u'=w-w', il s'agit bien du MEME vecteur.

Par l'écriture u-u', il appartient à U
Par l'écriture w-w', il appartient à W

Donc CE vecteur est dans U inter W. Il est donc nul.

Ca va?

[nico2b]

Ahh oui daccord
Merci pour cette explication