Somme directe de ker et im

[khadi8]

salut j'ai un exercice dont j'ai fais la solution mais je sais pas si c'est juste
soit f R4->R3 telle que
f(x,y,z,t)=(x+y+2z,z+t,3x+y-z)
1/déterminer une base du noyau de f , on déduire le rang de f
2/donner une base de image de f
3/peut-on avoir R4=img f (somme directe)ker f ?

voila ma solution

1/
x+y+2z=0
z+t=0
3x+y-z=0

z=-t
y=7/2 t
x=3/2 t
donc ker f {<(3/2,7/2,-1)>}
dim ker f=1
2/dim R4=dim ker f +dim im f
dim im f=3

3/ pour la 3 eme question je sais pas comment faire
je connais cette loi dim kerf+ dim im f -dim kerf inter imf mais je vois pas comment l'appliquer ici
et pour le rang aussi je sais que dim imf=rang f
mais dans l'exercice nous demande de la deduire juste après le noyau donc je vois pas comment
merci

[Ben314]

Salut,

Pour le 1), il y a une erreur de calcul (c'est x=-3/2t) mais surtout une énormr incohérentce : Ker f est une parti de l'ensemble de départ, donc ici de R^4 et, en conséquence ne risque pas d'être engendré par le vecteur (3/2,7/2,-1) qui est dans R^3 !!!!

Dans le 2), pour le rang(f)[=dim(im(f))] c'est O.K., mais on te demande aussi une base qui doit évidement contenir 3(=dim) vecteurs de R^3(=ensemble d'arrivé)

La 3) est ce que j'appellerais une "question à la con" : Ici, Ker(f), c'est une partie de quoi ? et Im(f) c'est une partie de quoi ? conclusion.