Somme(cos2kt)

[dolos]

Voilà, je cale (grâââve) devant l'exercice suivant :
soit :
Sn(t) = 1+2*somme(cos2kt) pour k=1 à n

montrer que quelquesoit t appartenant à ]0,pi[, Sn(t)=sin((2n+1)t) / sin(t)

J'ai essayé avec les identités remarquables de cos2a, ça ne donne rien. :triste:

[Sourire_banane]

Voilà, je cale (grâââve) devant l'exercice suivant :
soit :
Sn(t) = 1+2*somme(cos2kt) pour k=1 à n

montrer que quelquesoit t appartenant à ]0,pi[, Sn(t)=sin((2n+1)t) / sin(t)

J'ai essayé avec les identités remarquables de cos2a, ça ne donne rien. :triste:

Salut Dolos,

On écrit cette somme comme la partie réelle d'une somme complexe (celle des e^{2ikt}) qui s'avère être géométrique. On utilise ensuite une factorisation par l'angle moitié pour extirper -2i*sin(nt) et -2i*sin(t) et en prenant la partie réelle, il faut remarquer que sin(a)cos(b)=1/2*(sin(a+b)+sin(a-b))
Puis tu conclues.

[adrien69]

Ça c'est si on connaît pas la formule. Si on la connait (par exemple si elle est rappelée dans l'énoncé) le plus rapide est la récurrence.

[Sourire_banane]

Ça c'est si on connaît pas la formule. Si on la connait (par exemple si elle est rappelée dans l'énoncé) le plus rapide est la récurrence.

Oui c'est vrai, et je pense d'ailleurs que tu as raison, car en début de sup on doit généralement proposer un mode opératoire plus ou moins précis pour ce genre de résolution.

[adrien69]

On a tous les deux raison. Je me mettais juste dans une optique gain de temps. Et toi recherche.

[Sourire_banane]

On a tous les deux raison. Je me mettais juste dans une optique gain de temps. Et toi recherche.

En prépa on cherche à optimiser le temps de résolution, de ce que j'en sais :p

[dolos]

Quelle efficacité :ptdr: Merci !
Oui, dans l'enoncé il est précisé de ne pas utiliser la récurrence. J'avais bien essayé la méthode dite, mais j'ai du me planter dans les calculs, je n'arrivais pas au bout ! :mur:
Merci !

[deltab]

Quelle efficacité :ptdr: Merci !
Oui, dans l'enoncé il est précisé de ne pas utiliser la récurrence. J'avais bien essayé la méthode dite, mais j'ai du me planter dans les calculs, je n'arrivais pas au bout ! :mur:
Merci !

Juste un commentaire sur l'exercice (qui m'amènera à proposer une autre solution) .
1) La solution utilisant ne nécessite pas de savoir que
2) La récurrence étant interdite, il faudra utiliser des formules trigonométriques rendant simple le calcul de la nouvelle somme, par exemple si celle-ci est télescopique par exemple de forme .

Autre solution.
On peut déjà remarquer que .
Rappel: sin(a)cos(b)=1/2*(sin(a+b)+sin(a-b))





D'où

Remarque:

avec.

On a bien