Rg(A)=r => A= somme de CiLi

[Anonyme]

Bonjour, est-ce que quelqu'un connaîtrait svp une démonstration de l'implication suivante :

Si rg(A)=r avec A dans Mn(K), alors il existe une famille de colonnes libres (C1,..,Cr) et une famille de lignes libres (L1,...,Lr) telles que

A = Somme de i=1 à r de Ci*Li

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas totalement l'énoncé :
Tes "lignes libres" et "colonnes libres", ce ne peut pas être des lignes et colonnes de la matrice A comme le montre l'exemple de
2 2
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Et si tu accepte que les lignes (ou bien les colonnes) ne fassent pas parti de A alors, ça découle quasi directement de la définition du rang d'une matrice.

Remarque : je ne vois pas non plus l'intérêt de supposer A carrée...

[Anonyme]

Les lignes et les colonnes ne font pas forcément partie de A, mais en quoi la preuve est directe ?

[Ben314]

Ben, le rang r de A, par définition, c'est la dimension de l'image de l'endomorphisme associé, c'est à dire la dimension du s.e.v. de K^n de engendré par les colonnes de A (si A est de taille nxm)
Si sont des colonnes de A qui engendrent ce s.e.v, alors cela signifie que toute colonne de A est combinaison linéaire de et il tu en déduit que

[Anonyme]

Merci mais qu'est-ce qui prouve que les lignes sont indépendantes ?

[Ben314]

Ben si les lignes n'était pas indépendantes, ça voudrait dire qu'on peut écrire
A=?L1+?L2+...+?Lk où kCe qui signifierais que toutes les lines de A sont combinaisons linéaires de L1,...Lr et donc que le rang de A est inférieur où égal à k lui même (ici, il faut savoir que le rang de la transposé de A est le même que celui de A, c'est à dire que l'on peut aussi calculer le rang en regardant la dimension du s.e.v de K^m engendré par les lignes de A)

[Anonyme]

Merci beaucoup ! :)