Solutions d'équation

[ArtyB]

Pour répondre à l'énoncé suivant:
Pour quelles valeurs de c l'équation 6X+15y=c admet elle une solution (x,y) appartenant à Z² ?


Soit d=PGCD(6,15)=3
Mon intuition me dit qu'il faut que d divise c.

Je dirais que d|6 et d|15 donc d doit diviser toute combinaison linéaire de 6 et 15, par conséquent d divise c.

Est-ce la bonne démonstration ?

[nodjim]

Ben oui. 6x+15y= 3*(2x+5y)= c

[zygomatique]

salut

sans aller forcément chercher un pgcd on peut remarquer que 6x + 15y = c <=> 3(2x + 5y) = c

donc 3 divise c

....

:lol3:

[Robot]

Ca ne suffit pas. Il reste à démontrer que si 3 divise c, l'équation a bien une solution entière.

[ArtyB]

@nodjim @zygomatique
Oui je l'avais écris comme ça aussi avant, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué n'est-ce pas ?

@Robot
J'y ai pensé oui mais je ne vois pas comment m'y prendre, des indices ?

[chan79]

c doit être multiple de 3
on pose c=3*m
il faut trouver les valeurs de m telles que:
2x+5y=m
on peut écrire:
2(-2m)+5m=m
Par soustraction:
2(x+2m)+5(y-m)=0
2(x+2m)=-5(y-m)
2 divise y-m
y-m=2k
y=2k+m
2(x+2m)=-5(2k)
x+2m=-5k
x=-2m-5k
Pour tout m, on a les solutions (x,y)=(-2m-5k,m+2k)
Par exemple, pour c=18:
m=6
avec k=-3, on a la solution (x,y)=(3,0)

[biss]

J'y ai pensé oui mais je ne vois pas comment m'y prendre, des indices ?

tu peux essayer avec les congruence ca marche bien

[Robot]

ArtyB, n'as-tu jamais entendu parler de l'identité de Bézout ? Revois ton cours au besoin.

[ArtyB]

@chan79
Merci, je n'avais pas pensé à réécrire l'équation sous la forme 2(-2m)+5m=m et à ensuite faire la soustraction.

@Robot
Si par Identité de Bezout tu entends ça: ax+by=PGCD(a;b), je l'ai utilisée dans ma démonstration oui.