Montrer qu'une équation en cos et sin n'a pas de solutions

[Lemniscate]

Bonjour,

Je dois montrer qu'il n'existe pas de a et b réels tels que :

(1)

J'ai pensé à faire ce ceci :

(1) entraîne que

Après je met tout au carré, j'obtiens une équation , en posant , (2)

Si (1) était vraie alors (2) aurait une infinité de solutions (tout le segment [0,1] car cos^2 est bijective de dans [0,1]) et donc on aurait le polynôme nul. Ce qui est absurde car le polynôme est unitaire...

Que pensez vous de cette démo ? en fait je suis pas convaincu qu'elle marche, même si je ne vois pas d'erreur.

Y'a-t-il une démonstration plus simple ?

bye.

[ThSQ]

est paire et est impaire

[skilveg]

Je ne crois pas que soit impaire... En revanche, on peut peut-être évaluer l'équation en points particuliers, par exemple en et en , et voir ce que ça implique pour et .

Mais sinon, ta preuve marche tout à fait, même si elle est un peu compliquée.

Pour l'argument de parité, c'est plutôt qui est paire.

[fatal_error]

Salut,

une autre tentaive :

si
or et
Pas assez de recul pour savoir si c'est correct

[skilveg]

C'est compliquééééé... :hein:

[ThSQ]

Pour l'argument de parité, c'est plutôt qui est paire.

Oui bon, je me suis emmêlé les pinceaux ... :briques:

[mathelot]

(1)

Bonjour,

je me permet de plussoyer
en suivant les arguments de Thsq

Soit f une fonction quelconque définie sur
Il existe un unique couple de fonctions (g,h)
tel que
f=g+h
g paire et h impaire.

existence:
f(x)=0,5 ( f(x)+f(-x))+0,5(f(x)-f(-x))
unicité
f=g1+h1=g2+h2
g1-g2=h2-h1 est paire et impaire , donc identiquement nulle.

d'où

d'où
d'où =fonction constante.
impossible.

[ThSQ]

Bonjour,

je me permet de plussoyer
en suivant les arguments de Thsq

Soit f une fonction quelconque définie sur
Il existe un unique couple de fonctions (g,h)
tel que
f=g+h
g paire et h impaire.

existence:
f(x)=0,5 ( f(x)+f(-x))+0,5(f(x)-f(-x))
unicité
f=g1+h1=g2+h2
g1-g2=h2-h1 est paire et impaire , donc identiquement nulle.

d'où

d'où
d'où =fonction constante.
impossible.

Ou la seule fonction paire et impaire est la fonction nulle.

[girdav]

Salut.
On peut évaluer (1) en 0 et en .
On obtient que et donc pour tout x d'où la contradiction.

[skilveg]

C'est marrant le nombre de réponses identiques proposées.

[ffpower]

Allez,une petite généralisation:Soit P(X,Y) un polynome a coeff reels tel que pour tout x reel P(cosx,sinx)=0.Montrer que P(X,Y) est divisible par X²+Y²-1

[ThSQ]

Intéressant. Dans le même genre et si P(x,1/x) = 0 pourtoutix non nul ?

A noter un prolongement à l'exo (pour faire plaisir à Léon).

Si A est l'anneau des fonctions réelles qui sont des polynômes en cos et sin alors A ~ IR[X,Y]/(X²+Y²-1).

Mq que A est intègre, n'est pas factoriel, ....

quid de C[X,Y]/(X²+Y²-1) ?



Edit : quels sont les éléments irréductibles de A ?

[ThSQ]

Tu boudes Léon ? :arme: :lol2:

[leon1789]

hé l'eau !

quid de C[X,Y]/(X²+Y²-1) ?

Anneau de Dedekind :id: ( courbe irréductible lisse en tout point )

[leon1789]

Soit K un corps où , le polynôme F := X^2+Y^2-1 dans K[X,Y] et l'anneau B := K[X,Y]/(F).

A priori, B n'est pas factoriel, mais on remarque la relation de Bézout !

De plus F est irréductible (car ),

Enfin B est un anneau de Dedekind. Tout localisé de B en un idéal premier est de valuation discrète. La relation de Bézout permet d'expliciter tout ça :id:

[ThSQ]

Ahhh, le réveil de Léon.

Merci.