F(x)^f(x)=x cette équation admet-elle des solutions

[neptuneconcept]

Bonsoir,
Je suis en prépa maths et profite des vacances scolaires pour avancer un Dm.
Un exercice consiste à démontrer qu'il existe une ou des solutions à:
f(x)^f(x)=x
Sachant que x^x= e^(xlnx)
alors on peut écrire que f(x)^f(x) = e^[f(x) ln(f(x)] = x

Après je suis complètement bloqué.....

Quelqu'un peut-il me remettre sur la voie.

D'avance merci

:mur:

[Antho07]

On cherche quoi les fonctions qui vérifient cela?
Ou x pour n'importe quelle fonction?

[neptuneconcept]

Bonjour,

:++: merci pour l'intérêt que vous portez à mon problème.

En effet ma question était ambiguë. On cherche f(x) vérifiant f(x)^f(x)=x.

Cordialement

Neptune

[Pythales]

donne (1)
soit (2)
En dérivant (1), on obtient
et compte tenu de (2)
Il ne reste plus qu'à poser pour obtenir une equadif à variables séparables.
C'est vrai que j'ai supposé dérivable.

[acoustica]

C'est vrai que j'ai supposé dérivable.

Peu importe, il faut trouver des solutions. Il faudra juste vérifier que la ou les solutions trouvées sont bien dérivables.

[acoustica]

u'u+u'=u/(x*ln(x))
Ouch, c'est pas habituel ça.



Super hard. Quelqu'un a réussi à la résoudre?

[neptuneconcept]

Bonjour , merci beaucoup de vous attarder sur cette question.
En remplaçant ln(y) par u on obtient une équation différentielle qui me semble assez difficile à résoudre, je ne pense pas avoir pour le moment les outils pour la résoudre... :triste:
Cette question intervient au milieux d'un problème où dans les questions précédentes on étudie la fonction h(x)=x^x , et la question qui précède tout juste celle ci est une étude de la bijection de h(x) . Je pense donc qu'en étudiant la fonction réciproque de h(x) on trouvera X=(fonction de y) et cela pourrait peut être aboutir au résultat demandé... Mais la fonction réciproque, je n'arrive pas à la trouvé, je suis hélas bloqué à ce stade là :mur:
Qu'en pensez vous ?
Merci d'avance et bon courage.
Neptune

[_-Gaara-_]

lol à part réécrire le truc comme : y' = -1/[xln(x)(y+1)] + 1/(xln(x)) je ne vois pas quoi faire >_<

ou sinon un changement de variable t = ln(x) mais ça n'avance en rien >_<

[Purrace]

Non seulement tu as supposé que f dérivable mais tu as aussi considérer les solutions f>0 pour tout x ! , tu as réduit le nombre de solutions.

[_-Gaara-_]

Oui mais au moins on cherche des solutions :arme:

[Nightmare]

Bonjour,

est-on sûr que cette équation fonctionnelle admet une solution analytique? Bof...

On a clairement que est solution (W de Lambert).

[_-Gaara-_]

Clairement Nightmare ! :D

[neptuneconcept]

Je suis désolé , j'avais oublié de préciser que la fonction f(x) est une application f de [e^(-1/e); + l'infini] et comme ensemble d'arrivée [1/e; + l'infini] .
De plus je ne connais pas encore le W de Lambert proposé précédemment. Personne d'autre aurait une solution plus appropriée à mon niveau ou sinon pourriez-vous m'expliquez afin que je puisse comprendre et donc m'approprier cette méthode. :help:
Merci

[_-Gaara-_]

lol une question tu es en prépa parisienne ?

[neptuneconcept]

Non absolument pas lol. Pourquoi donc?

[Pythales]

A la réflexion, je pense qu'écrire une équadif dont serait la solution n'apporte rien, car la solution d'une équadif ne se présente pas toujours sous la forme d'autant plus qu'ici, on a déja une solution
Il n'est pas certain qu'on puisse trouver une expression de et je me demande d'ailleurs si c'est demandé

[neptuneconcept]

Non cela n'est pas demandé de trouver une expression de y . Mais là j'avoue que je sèche totalement sur la question, cela fait près de 5 jour que j'y réfléchie... Je ne connaissais pas la fonction W de Lambert , je suis donc entrain de faire des recherches sur cette dernière car c'est la seule idée de solution qui m'a été proposé. Mais il est bien entendu que je compte sur vous tous pour continuer à m'aider.^^
Merci , bon courage et désolé de vous déranger en cette heure de sieste un dimanche après midi^^

[neptuneconcept]

Par contre par la suite il m'est demandé de calculer des limites en utilisant f(x) , il ne faut donc pas seulement prouver qu'il existe des applications f qui vérifient cette équation mais de plus la déterminer.
Merci de passer du temps là dessus c'est généreux et très aimable de votre part.

[_-Gaara-_]

Non absolument pas lol. Pourquoi donc?

ton exo fait partie de mon DM numéro 2 xD

[neptuneconcept]

haaa c'est donc pour ça ! lol . Et as tu trouvé la solution?