Le sinus et le cosinus Lemniscatiques.
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 17:04
-
par barbu23 » 28 Oct 2014, 12:14
Bonjour à tous, :happy3:
Le sinus et cosinus lemniscatiques vérifient la formule suivante :
 + \mathrm{cl}^2 (t) - \mathrm{sl} (t) \mathrm{cl}(t) = 1 $)
pour tout
.
C'est une formule qui ressemble à l'identité trigonométrique que vous connaissez tous :
 + \cos^2 (t) = 1 $)
D'autre part :
 + \cos^2 (t) = ( \cos (t) + i \sin (t) )( \cos (t) - i \sin (t) ) $)
qui est similaire à
 + \mathrm{cl}^2 (t) - \mathrm{sl} (t) \mathrm{cl}(t) = ( \mathrm{cl} (t) + j \mathrm{sl} (t) ) ( cl (t) + j^2 \mathrm{sl} (t) ) $)
avec
est une racine troisème de l'unité ...
Or :
 + i \sin (t) $)
et
 - i \sin (t) $)
c'est à dire :
 + i \sin (t) $)
et
 - i \sin (t) $)
correspondent respectivement aux fonctions :
et
...
Ma question est :
A quelles fonctions correspondent respectivement les expressions :
 + j \mathrm{sl} (t) $)
et
 + j^2 \mathrm{sl} (t) $)
et quelles sont leurs propriétés (par exemple, les propriétés de la fonction exponentielle sont connues par le grand public ... donc, pas besoin de les citer .. )
Merci pour votre aide. :happy3:
-
mathelot
par mathelot » 28 Oct 2014, 13:21
bonjour,
Gauss avait établi des formules sur le sinus et cosinus lemniscatiques,
beaucoup plus lourdes que les formules habituelles
de trigonométrie circulaire et hyperbolique.
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 17:04
-
par barbu23 » 28 Oct 2014, 13:25
Merci @mathelot. :happy3:
N'as tu pas sous la main un lien internet qui poste sur la construction du cosinus lemniscatique et la démonstration de la formule :
 + \mathrm{cl}^2 (t) - \mathrm{sl} (t) \mathrm{cl} (t) =1)
?
Merci d'avance. :happy3:
-
mathelot
par mathelot » 28 Oct 2014, 13:37
-
mathelot
par mathelot » 28 Oct 2014, 13:51
c'est plutôt
?
-
mathelot
par mathelot » 28 Oct 2014, 14:59
?
je suis sceptique sur ta formule.
par contre, on aurait peut être, en lemniscatique:
(c-j^2s))
(1)alors qu'on a
(c-is)=e^{i\theta} e^{-i\theta} \qquad)
en circulaire
(c+s)=e^t.e^{-t} \qquad)
en hyperbolique
ce qui conduirait à poser
(2)la résolution de (2)
}{sin(\frac{\pi}{3})}<br />\textrm{ et } s=\frac{cosh(g+ i \frac{\pi}{2})}{sin(\frac{\pi}{3})})
ce qui nous fait bien un décalage de phases de
Il s'agirait d'axiomatiser toutes ces trigonométries, sur une variété compacte abstraite X.
cosh() étant à prendre au sens des séries
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 17:04
-
par barbu23 » 28 Oct 2014, 16:48
@mathelot :
La formule est bien celle là ( i.e :
 + \mathrm{cl}^2 (t) - \mathrm{sl} (t) \mathrm{cl} (t) = 1)
)
Sa factorisation est comme suit :
 + \mathrm{cl}^2 (t) - \mathrm{sl} (t) \mathrm{cl} (t) = (\mathrm{cl} ( t ) + j \mathrm{sl} (t) ) ( \mathrm{cl} ( t ) + j^2 \mathrm{sl} (t) ))
avec :
.
Moi non plus, je ne sais pas à quels exponentielles correspondent les deux morceaux :
 + j \mathrm{sl} (t))
et
 + j^2 \mathrm{sl} (t))
Pour que ces deux morceaux correspondent à la fonction exponentielle, il faut vérifier si :
 + j \mathrm{sl} (t)) ( \mathrm{cl} ( t' ) + j \mathrm{sl} (t') ) = \mathrm{cl} ( t+t' ) + j \mathrm{sl} (t+t' ))
et
 + j^2 \mathrm{sl} (t)) ( \mathrm{cl} ( t' ) + j^2 \mathrm{sl} (t') ) = \mathrm{cl} ( t+t' ) + j^2 \mathrm{sl} (t+t' ))
.
Est ce que c'est vrai cela ?
Cordialement.
-
mathelot
par mathelot » 28 Oct 2014, 16:51
tu es certain ? d'où vient cette formule ?
il faut la vérifier avec la déf. des intégrales elliptiques, le souci, c'est que je ne sais pas faire.
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 17:04
-
par barbu23 » 28 Oct 2014, 16:55
La formule, je l'ai vu sur le net ce matin, je l'ai recopié d'un pdf que je n'arrive pas à insérer sur ce forum. :we:
-
mathelot
par mathelot » 28 Oct 2014, 16:58
tu plaisantes...
:doh:
le problème, c'est que cette formule est p-e fausse.
Dans le doc que je t'ai indiqué, ce n'est pas la même formule.
donc il faut la redémontrer, c'est ça que je veux dire.
est ce
ou
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 17:04
-
par barbu23 » 28 Oct 2014, 17:29
C'est
. :we:
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 17:04
-
par barbu23 » 28 Oct 2014, 17:34
C'est
. :we:
Quelles sont les dérivées successives de la fonction :
pour qu'on puisse lui associer une équation différentielle et voir si ses solutions correspondent aux fonctions exponentielles ?. C'est une bonne idée, non ? :we:
-
mathelot
par mathelot » 28 Oct 2014, 17:38
barbu23 a écrit:Pour que ces deux morceaux correspondent à la fonction exponentielle, il faut vérifier si :
et
.
Est ce que c'est vrai cela ?
Cordialement.
certes, mais il te faudrait différentier selon le fibré tangent de l'hypothétique variété X
que j'évoquais précédément (si on axiomatise les trigos) :we:
euh, je croyais qu'on différentiait (j'ai lu le prime à l'extérieur)
post-scriptum:
on discute , faut pas tout prendre à la lettre
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 17:04
-
par barbu23 » 28 Oct 2014, 17:41
Non, qu'est ce que tu racontes ?. :hum: :ptdr:
On est sur
ou
pas sur
. Pourquoi veux tu introduire
. Je n'ai pas compris ton idée. :happy3:
-
mathelot
par mathelot » 28 Oct 2014, 17:59
mon idée, c'est d'axiomatiser les trigonométries éventuellement
à l'aide d'une variété compacte. abstraite X.
le cercle est une variété compacte avec des angles au centre mesurés en radians.
l'hyperbole possède des angles, le souci, c'est que la variété est de courbure négative,
non compacte sauf si on la projective,
Pour ce qui est du lemniscate, je vois bien les deux pétales manquants imaginaires.
pour projectiver le lemniscate, qui est déja compact, tu vois le truk,
il faut faire jouer un rôle particulier à l'origine, quelle soit son zéro et son infini,
ce qui est possible car il y a un point double.
(x^2-y^2)/(x^2+y^2) = doublement de l'argument d'un cosinus
-
mathelot
par mathelot » 28 Oct 2014, 18:35
C'est
je ne peux continuer tant que cette égalité n'est pas démontrée :triste:
-
mathelot
par mathelot » 28 Oct 2014, 18:48
(1)je souhaiterai lire ou produire une démo de (1)
-
mathelot
par mathelot » 28 Oct 2014, 19:25
et d'inverser (la famille de) fonctions ^{- \frac{1}{2}} \, dt)
?
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 257 invités
