Singularité

[zork]

Bonjour

Quelle est la différence entre une singularité artificielle et essentielle? Je sais que si on a une singularité artificielle on peut prolonger la fonction en une fonction holomorphe en la singularité


merci

[Ben314]

Une singularité "artificielle", on te l'a déjà dit, c'est lorsqu'en fait on peut prolonger la fonction par continuité au point en question (et on montre assez facilement qu'en se nouveau point, la fonction sera analytique).
C'est le cas par exemple de , de , de , de , (en 0 dans les 4 cas). etc..

Une singularité "essentielle", c'est l'opposé absolu : non seulement f(z) n'admet pas de limite lorsque z->zo, mais même (z-zo)^nf(z) n'en a pas non plus quelque soit l'entier n (alors qu'on multiplie par des truc qui tendent super vite vers 0).
LE exemple de base, c'est la fonction f(z)=exp(1/z) avec zo=0.

En fait, cela signifie que, non seulement f(z) ne peut pas être définie par une série entière "somme pour n>=0 de a_nz^n" au voisinage de zo (ce qui est le cas pour une singularité "artificielle), mais qu'elle ne peut pas non plus être définie par une série du style "somme pour n>=-23 de a_nz^n".
La seule façon de la décrire localement est alors l'utilisation de "somme de n=-oo à +oo de a_nz^n" (série de Laurent)