Simplification d'arctan

[kokorico06]

bonsoir, j'ai un exo où on me demande de simplifier arctan((1-x)/(1+x))

Je ne vois pas du tout quoi faire :s

Merci d'avance pour l'aide

[Skullkid]

Essaye de dériver, voir si tu obtiens un truc simple.

[kokorico06]

Je trouve arctan'(...) = -1 / (x²+1)
Si encore je trouvais = 0 j'aurais fait le truc habituel pour trouver que c'est égal à une constante mais là je vois pas :/

[Skullkid]

Tu as donc montré que ta fonction est une primitive de -1/(x²+1) sur son domaine de dérivabilité (quel est-il, ce domaine ?). Quelles sont les primitives de x -> -1/(x²+1) ?

[kokorico06]

Le domaine de dérivabilité est R.
Les primitives de -1/(x²+1) sont de la forme -arctan(x) + constante
Je vois tjrs pas où vous voulez en venir :/ (une vraie quiche)

[Skullkid]

Le domaine de dérivabilité est R.

Non, regarde mieux.

Les primitives de -1/(x²+1) sont de la forme -arctan(x) + constante
Je vois tjrs pas où vous voulez en venir :/ (une vraie quiche)

Si j'appelle f(x) = arctan((1-x)/(1+x)), tu as montré que f est une primitive de x -> -1/(x²+1) sur son domaine de dérivabilité, or les primitives de x -> -1/(x²+1) sont les K - arctan, donc...

[kokorico06]

Je ne comprend pas. La dérivée de f(x) = arctan((1-x)/(1+x)) c'est bien -1/(x²+1) or x²+1 ne s'annule pas sur R donc le domaine de dérivabilité de f c'est bien R. Je ne comprend pas où ça doit nous mener :s
Peux tu me dire ce qu'on cherche à faire ?

Merci

[kokorico06]

on a montré que arctan((1-x)/(1+x)) = -arctan(x) c'est bien ça ?

[Skullkid]

Je ne comprend pas. La dérivée de f(x) = arctan((1-x)/(1+x)) c'est bien -1/(x²+1) or x²+1 ne s'annule pas sur R donc le domaine de dérivabilité de f c'est bien R.

Oui mais non. Un domaine de dérivabilité ça ne se trouve pas en calculant une dérivée à l'aveugle et en regardant a posteriori où l'expression qu'on obtient est définie. Le domaine de dérivabilité d'une fonction se calcule toujours a priori. Ici, ta fonction n'est même pas définie sur R tout entier, donc elle ne saurait être dérivable sur R.

Je ne comprend pas où ça doit nous mener :s
Peux tu me dire ce qu'on cherche à faire ?

Merci

Je vois pas trop ce qui te bloque... f est une primitive de x -> -1/(x²+1) sur son domaine de dérivabilité, or les primitives de x -> -1/(x²+1) sont les K - arctan, donc f(x) est de la forme K - arctan(x) sur tout intervalle inclus dans son domaine de dérivabilité.

[kokorico06]

D'accord donc le domaine de dérivabilité c'est alors R privé de -1.
donc la simplification de f c'est C - arctan(x) avec C une constante !
Dans la correction qu'ils nous donnent sur internet, la simplification donne Pi/4 - arctan(x) pour x> -1
et -3Pi/4 -arctan(x) pour x< -1. Comment on fait pour trouver ces deux nombres -Pi/4 et -3Pi/4 ???

[Skullkid]

Le domaine de dérivabilité de f est l'union de deux intervalles disjoints : ]-l'infini,-1[ et ]-1,+l'infini[, donc il existe deux constantes A et B telles que :

Pour tout x > -1 f(x) = A - arctan(x)
Pour tout x < -1 f(x) = B - arctan(x)

Pour trouver A et B il te suffit de regarder ce qui se passe pour certains x particuliers.

[kokorico06]

Le seul x particulier que je vois ici c'est le -1, mais ça ne m'aide pas...

[kokorico06]

Non c'est bon j'ai compris ! Je parle trop vite quelques fois ^^
Merci énormément pour ton aide =)

[kokorico06]

Heu en fait pour les x>-1, j'ai pris x=0 ... et donc je trouve bien que ce que tu as appelé A = Pi/4
Mais pour les x<-1, je ne vois pas quel x choisir (y en a trop lol ^^), non sérieusement j'ai essayé avec x = -2 mais ça n'aboutit pas !

[Skullkid]

Ton idée de prendre x=-1 n'était pas idiote. Bien sûr f n'est pas définie en -1, mais tu peux regarder du côté des limites en -1.

[kokorico06]

D'accord je me rapproche ! Pour la limite quand x tend vers -1 par valeurs supérieures je trouve A = Pi/4
et pour -1 par valeurs inférieures j'ai 3Pi/4
Tout petit problème, dans la correction c'est -3Pi/4 (et pas 3Pi/4) !

[kokorico06]

Non non je rectifie pour -1 + ou -1 - j'obtiens la même constante qui est Pi/4
Le -3Pi/4 je n'ai aucune idée de comment le trouver

[Skullkid]

Quand x tend vers -1 par valeurs inférieures, (1-x)/(1+x) tend vers -l'infini, donc f(x) tend vers -pi/2. De l'autre côté, B - arctan(x) tend vers B + pi/4 donc B = -3pi/4. Tu peux aussi regarder ce qui se passe en -l'infini, tu tomberas aussi sur -3pi/4.

[kokorico06]

Oh oui oui encore une fois stupide erreur de signe, j'avais oublié le - de -arctan(x)!
Pfff merci bien :)
J'arrête de t'embêter !

[mathelot]

sinon, tu peux poser
avec