Un simple problème de formalité, Fonction T-périodique

[Mikihisa]

Bonjour ! Voilà je suis sur un exo plutôt simple mais je me confronte à un problème de formalisme!

La question : Soit et soit une fonction T-périodique. Montrer que si a une limite fini en , elle est constante.

Voilà comment j'ai fait :
Disons sans perte de généralité que a une limite fini en et notons la .
Soit . Supposons qu'il existe tel que .
Il existe tel que , donc pour tout .


Mais voilà j'ai l'impression qu'il manque un truc à la fin, la dernière implication semble évidente et pourtant j'ai l'impression qu'il faut l'expliquer... Enfin bref si vous pouvez me donnez vos avis la dessus, ce serait très sympas, ou si vous auriez fait différemment.

Bien cordialement.

[arnaud32]

ton raisonnement est correct mais tu n'as pas besoinde passer par l'absurde

[Mikihisa]

D'accord merci ! Je pense que je me torture l'esprit pour rien je vais passer a autre chose. ! Mervi

[arnaud32]

si c'est le passage , donc pour tout
il suffit de dire que si tu prends et tu as 1<1/2 qui est absurde

[Mikihisa]

Ah oui, je vois en effet merci beaucoup !

[Mikihisa]

Si jamais tu repasse par la, la question suivante est : montrer que si f est continue elle est uniformément continue. En utilisant le th de Heine sur la restriction de f a sa période, je cherchait par la puis j'me suis retrouver confronter a un problème de distance |x-y|. Finalement j'ai trouver une preuve sur un pdf, et il choisit x et y tels que |x-y|< T/2. Mais voilà je comprend pas pourquoi ce n'est pas une perte de généralité...

Voici le lien du pdf : http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=pmi:series_fourier.pdf Proposition 4 page 2

Cordialement

[Ben314]

Salut,
Le truc, c'est d'avoirs compris ( et démontré..) une bonne fois pour toute que, dans les définitions de limite, de continuité, de continuité uniforme, etc... on a systématiquement où est une proposition dépendant de .
Dans toutes ces définitions la proposition a la propriété suivante :
(si tu ne l'a jamais vu, démontre le)
Cela explique que, si tu montre que est vrai pour tout où est fixé, cela suffit à montrer que est vrai pour tout .
De même, si par exemple tu montre uniquement que est vrai pour les , ça suffit pour prouver ue est vrai pour tout .

[Ben314]

Euhhh,
en fait, non, j'ai tout mélangé : ma répons est correcte, mais ne correspond absolument pas à la question...
Dans ton truc, vu le contexte, c'est qu'on suppose dés le départ 0[/TEX] tel que...
Donc il suffit de dire dés le départ qu'on va prendre le et ça roule.

[deltab]

Bonjour.

Une autre manière de démontrer la propriété énoncée.
Soit et soit la suite , alors , et . Donc pour tout , , f est constante une période donc constante sur

[Mikihisa]

Ok, merci Ben314! Bon je passe aux intégrales et séries de Riemann now !

[zygomatique]

salut

pour un vrai raisonnement par l'absurde ...

supposons f non constante ....

donc il existe deux réels a et b tels que f(a) <> f(b)

donc f(a + kT) <> f(b + kT) pour tout k

donc f n'a pas de limite à l'infini

....