[Algèbre linéaire] SEV, somme, intersections d'EV

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Majaspique
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[Algèbre linéaire] SEV, somme, intersections d'EV

par Majaspique » 17 Mar 2019, 14:44

Bonjour,
je rencontre quelques difficultés face à l'exercice suivant :

Exercice :
Soit E l'espace des fonctions continues sur [0;1] à valeurs dans
A = {}, B = {applications constantes de [0;1] dans }

a) Montrer que A et B sont des SEV de E : aucun problème

b) Montrer que A+B = E.
* Pour montrer que A+B est inclus dans E, j'ai utilisé le fait que A et B sont des SEV de E, donc leur somme est un SEV de E, d'où A+B E.
* Mais voilà, je bloque sur le fait que E A+B, je ne vois pas trop comment le démontrer...

c) Déterminer
J'ai remarqué que :
puisque f=0 est constante, continue et l'intégrale de 0 à 1 de 0 vaut bien 0.
, en effet : .
Or si f=0 alors F=b, , F(1) - F(0) = b - b = 0 donc f .
Si f est constante non nulle, on pose f = a, alors F = ax donc F(1) - F(0) = a 0 donc f n'appartient pas à A, donc pas à .
Dans les autres cas, f n'appartient pas à B, donc pas à

Si vous pouviez m'aider pour la Q2 et me dire si la Q3 est correcte, je vous remercie !
Bonne journée.
Modifié en dernier par Majaspique le 17 Mar 2019, 15:39, modifié 4 fois.



jlb
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Re: [Algèbre linéaire] SEV, somme, intersections d'EV

par jlb » 17 Mar 2019, 15:04

Bonjour,
Pour b), à partir de f continue, comment peux-tu construire une fonction dans A facilement?
Pour la c), ta première affirmation doit être complétée par et la fct nulle est continue
et pour la deuxième, cela commence mal!! si f=0 alors F=0...

Majaspique
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Re: [Algèbre linéaire] SEV, somme, intersections d'EV

par Majaspique » 17 Mar 2019, 15:28

jlb a écrit:Bonjour,
Pour b), à partir de f continue, comment peux-tu construire une fonction dans A facilement?
Pour la c), ta première affirmation doit être complétée par et la fct nulle est continue
et pour la deuxième, cela commence mal!! si f=0 alors F=0...


J'ai été trop vite pour la c), j'ai corrigé:
J'ai remarqué que :
* puisque 0 est constant, continue et l'intégrale de 0 à 1 de 0 vaut bien 0.
* , en effet : .
Or si f=0 alors F=b, , F(1) - F(0) = b - b = 0 donc f .
Si f est constante non nulle, on pose f = a, alors F = ax donc F(1) - F(0) = a 0 donc f n'appartient pas à A, donc pas à .
Dans les autres cas, f n'appartient pas à B, donc pas à

Pour la b), je ne vois vraiment pas :/

jlb
Habitué(e)
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Re: [Algèbre linéaire] SEV, somme, intersections d'EV

par jlb » 17 Mar 2019, 16:02

Que peux-tu dire de la fonction f - int0à1 de f?

 

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